Determine o campo vetorial gradiente de f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\nabla f=\left\langle\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\rangle
Note que,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
Similarmente
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \quad l \quad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
Portanto,
\nabla f(x, y, z)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \vec{i}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \vec{j}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o campo vetorial gradiente da função
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui o conteúdo é o operador gradiente em cálculo vetorial, que envolve calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é definido como
\nabla f = \biggl\langle \frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\biggr\rangle,
vamos usar a regra da cadeia para cada derivada.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial x} escrevemos f=\bigl(u(x,y,z)\bigr)^{1/2} com u=x^2+y^2+z^2. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}\,u^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-\frac12}\cdot(2x) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 4

Pelos mesmos argumentos de simetria, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial z} =\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 5

Agora reunimos essas componentes no vetor gradiente:
\nabla f(x,y,z) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{i} +\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{j} +\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{k}.

Resposta

\nabla f(x,y,z) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{i} +\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{j} +\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,\vec{k}.

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