Seja \vec{F}(x, y)=y e^{x} \vec{i}+\left(e^{x}-\operatorname{sen} y\right) \vec{j}.
a) Determine se \vec{F} é um campo conservativo. Em caso afirmativo determine a função potencial.
Sendo P(x, y)=y e^{x} e Q(x, y)=e^{x}-\operatorname{sen} y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x} \quad \text { e } \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x},
como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, logo \vec{F} é um campo conservativo.
Sabemos que, sendo f a função potencial, então
\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x}=P(x, y)=y e^{x} \Rightarrow f(x, y)=y e^{x}+c(y) \\\ & \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x, y) \Rightarrow e^{x}+c^{\prime}(y)=e^{x}-\operatorname{sen} y \\\ \Rightarrow & c^{\prime}(y)=-\sin y \quad \Rightarrow c(y)=\cos y \end{aligned}
Portanto,
f(x, y, z)=y e^{x}+\cos y
b) Calcule
\int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{x} em que C é um segmento de reta de (-8,-2) a (1,1)
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r}=f(1,1)-f(-8,-2)=e^{1}+\cos 1+2 e^{-8}-\cos (-2)

Passo 1

Resumindo, temos \vec F(x,y)=y e^{x}\,\vec i+\bigl(e^{x}-\sin y\bigr)\,\vec j. O conteúdo aqui é campo conservativo e integração de linha. Vamos verificar se existe função potencial f tal que \nabla f=\vec F e, em caso afirmativo, usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
no segmento de reta de (-8,-2) a (1,1).

Passo 2

Para mostrar que \vec F é conservativo, observamos que o domínio é \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo) e comparamos as derivadas parciais
P(x,y)=y e^{x}, \quad Q(x,y)=e^{x}-\sin y.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o domínio, \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos \partial f/\partial x=P(x,y)=y e^{x}
em relação a x:
f(x,y)=\int y e^{x}\,dx = y e^{x} + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora usamos que \partial f/\partial y=Q(x,y). Do resultado anterior
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x}+h'(y)
deve ser igual a
Q(x,y)=e^{x}-\sin y.
Logo
e^{x}+h'(y)=e^{x}-\sin y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-\sin y \quad\Rightarrow\quad h(y)=\cos y + C.
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade, ficando
f(x,y)=y e^{x}+\cos y.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a integral de \vec F ao longo de C de (-8,-2) a (1,1) é
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = f(1,1)-f(-8,-2).

Passo 6

Calculamos
f(1,1)=1\cdot e^{1}+\cos 1 = e + \cos 1, \quad f(-8,-2)=(-2)e^{-8} + \cos(-2) = -2e^{-8} + \cos 2.
Portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \bigl(e+\cos 1\bigr)-\bigl(-2e^{-8}+\cos 2\bigr) = e + \cos 1 + 2e^{-8} - \cos 2.

Resposta

\vec F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=y e^{x}+\cos y.
Além disso, para C de (-8,-2) a (1,1),
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = e + \cos 1 + 2e^{-8} - \cos 2.

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