Seja
.
a) Determine se
é um campo conservativo. Em caso afirmativo determine a função potencial.
Sendo
e
, então
como
, logo
é um campo conservativo.
Sabemos que, sendo
a função potencial, então
Portanto,
b) Calcule
em que
é um segmento de reta de
a
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
a) Determine se
Sendo
Sabemos que, sendo
Passo 1
Resumindo, temos
. O conteúdo aqui é campo conservativo e integração de linha. Vamos verificar se existe função potencial
tal que
e, em caso afirmativo, usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
no segmento de reta de
a
.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo, observamos que o domínio é
(simplesmente conexo) e comparamos as derivadas parciais
Calculamos
Como
em todo o domínio,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a :
em relação a
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora usamos que
. Do resultado anterior
deve ser igual a
Logo
Podemos tomar
sem perda de generalidade, ficando
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a integral de
ao longo de
de
a
é
Passo 6
Calculamos
Portanto
Resposta
Além disso, para
de
a
,