Questão 5 Considere a base
de
.
(a) Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para
a partir da base G. DICA: Para facilitar as contas comece pelo vetor (1,1).
(b) Quais as coordenadas de
na base que você encontrou na letra (a)?
(a) Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para
(b) Quais as coordenadas de
Passo 1
O enunciado dá a base
de
e pede em (a) uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt e em (b) as coordenadas de
nessa base. Vamos precisar de produto interno, norma, projeção ortogonal e normalização de vetores.
Passo 2
Denotemos
. Sua norma é
Logo, normalizando, obtemos
Passo 3
Denotemos
. Primeiro calculamos a projeção de
sobre
:
Então o vetor ortogonal a
é
Passo 4
Calculamos a norma de
:
Normalizando
, obtemos
Passo 5
Portanto, a base ortonormal obtida é
Passo 6
Para achar as coordenadas de
nessa base, escrevemos
e usamos os produtos internos:
e
.
Calculando,
Calculando,
Resposta
(a) Uma base ortonormal é
(b) As coordenadas de
nessa base são
.