Questão 5 Considere a base G=\{(1,1),(1,2)\} de \mathbb{R}^{2}.
(a) Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para \mathbb{R}^{2} a partir da base G. DICA: Para facilitar as contas comece pelo vetor (1,1).
(b) Quais as coordenadas de (0, \sqrt{2}) na base que você encontrou na letra (a)?

Passo 1

O enunciado dá a base G=\{(1,1),(1,2)\} de \mathbb{R}^2 e pede em (a) uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt e em (b) as coordenadas de (0,\sqrt{2}) nessa base. Vamos precisar de produto interno, norma, projeção ortogonal e normalização de vetores.

Passo 2

Denotemos v_1=(1,1). Sua norma é
\|v_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Logo, normalizando, obtemos
e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).

Passo 3

Denotemos v_2=(1,2). Primeiro calculamos a projeção de v_2 sobre e_1:
\mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = (v_2\cdot e_1)\,e_1 = \frac{1\cdot1 + 2\cdot1}{\sqrt{2}}\,e_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}\,e_1 = \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\bigr).
Então o vetor ortogonal a e_1 é
u_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{e_1}(v_2) = \Bigl(1-\tfrac32,\;2-\tfrac32\Bigr) = \Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Calculamos a norma de u_2:
\|u_2\| = \sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14+\tfrac14} = \sqrt{\tfrac12} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Normalizando u_2, obtemos
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \sqrt{2}\,\Bigl(-\tfrac12,\tfrac12\Bigr) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1).

Passo 5

Portanto, a base ortonormal obtida é
\bigl\{\,e_1,e_2\bigr\} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\;\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)\right\}.

Passo 6

Para achar as coordenadas de (0,\sqrt{2}) nessa base, escrevemos
(0,\sqrt{2}) = \alpha\,e_1 + \beta\,e_2
e usamos os produtos internos: \alpha = e_1\cdot(0,\sqrt{2}) e \beta = e_2\cdot(0,\sqrt{2}).
Calculando,
\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\cdot(0,\sqrt{2}) = \frac{0 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1,
\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)\cdot(0,\sqrt{2}) = \frac{0 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1.

Resposta

(a) Uma base ortonormal é
\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\;\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)\right\}.
(b) As coordenadas de (0,\sqrt{2}) nessa base são (1,1).

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