Questão 4 Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}+2 y_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}.

Passo 1

Precisamos checar se a forma bilinear
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = x_1x_2 + x_1y_2 + 2y_1x_2 + y_1y_2
é simétrica e definida positiva, condições necessárias para ser produto interno.

Passo 2

Note que
\langle (1,0),(0,1)\rangle = 1\quad\text{mas}\quad\langle (0,1),(1,0)\rangle = 2,
logo não é simétrica.

Resposta

A relação não é produto interno.

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