Determine o campo vetorial gradiente nabla f da função f.
f(x, y)=x^2 e^-3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo gradiente de
f(x,y)=x^2e^-3y,
ou seja, calcular
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr).
Para isso vamos usar derivadas parciais, aplicando regra do produto na derivação em x e regra da cadeia na derivação em y.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x.
Como f(x,y)=x^2cdot e^-3y e e^-3y é tratado como constante em x, temos
partial fpartial x = e^-3y,ddx(x^2) = e^-3ycdot 2x =2x,e^-3y

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y.
Aqui x^2 é constante e usamos a regra da cadeia em e^-3y:
partial fpartial y = x^2,ddyl(e^-3yr) = x^2cdot e^-3ycdot(-3) =-3x^2,e^-3y

Passo 4

Reunindo os resultados das parciais, obtemos o gradiente
nabla f(x,y) =l(2x,e^-3y,,-3x^2,e^-3yr)

Resposta

nabla f(x,y)=l(2x,e^-3y,,-3x^2,e^-3yr).

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