Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para saber quando ele é conservativo e, nesse caso, encontrar uma função potencial. Para isso, usamos que em um domínio simplesmente-conexo um campo é conservativo se e somente se
e pede para saber quando ele é conservativo e, nesse caso, encontrar uma função potencial. Para isso, usamos que em um domínio simplesmente-conexo um campo
Passo 2
No nosso caso temos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em todo
, o campo é conservativo em
.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
satisfazendo
começamos por
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Daí
, logo
é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero.
Resposta
O campo
é conservativo em todo
e uma função potencial é
sendo
uma constante arbitrária.