Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
F(x, y)=y i+x j.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=y,i+x,j
e pede para saber quando ele é conservativo e, nesse caso, encontrar uma função potencial. Para isso, usamos que em um domínio simplesmente-conexo um campo F=(P,Q) é conservativo se e somente se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

No nosso caso temos
P(x,y)=y, Q(x,y)=x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partial partial y(y)=1, partial Qpartial x =partial partial x(x)=1
Como partial P/partial y = partial Q/partial x em todo R^2, o campo é conservativo em R^2.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f(x,y) satisfazendo
nabla f = F,
começamos por
partial fpartial x=P(x,y)=y
Integramos em relação a x:
f(x,y)=integral y,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial fpartial y = partial partial yl(xy + h(y)r) = x + h'(y) ;=;Q(x,y)=x
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero.

Resposta

O campo F(x,y)=y,i+x,j é conservativo em todo R^2 e uma função potencial é
f(x,y)=xy + C,
sendo C uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados