Encontre o fluxo do campo vetorial através da , onde é a porcāo do paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma parte do paraboloide dado pela parametrização com e . Vamos precisar usar cálculo de vetores, especialmente o conceito de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície de , onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como temos a parametrização da superfície , podemos calcular o fluxo usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e é o produto vetorial que nos dá um vetor normal à superfície.