Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, 1) através da sigma, onde sigma é a porcāo do paraboloide r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), 1-u^2) com 1 <= u <= 2,0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, 1) através da superfície sigma , que é uma parte do paraboloide dado pela parametrização r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), 1 - u^2) com 1 <= u <= 2 e 0 <= v <= 2pi . Vamos precisar usar cálculo de vetores, especialmente o conceito de fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície de F cdot n , dS , onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como temos a parametrização da superfície r(u, v) , podemos calcular o fluxo usando a fórmula:
integral duplasigma F cdot (ru times rv) , du , dv
Aqui, ru e rv são as derivadas parciais de r em relação a u e v , respectivamente, e ru times rv é o produto vetorial que nos dá um vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos calcular ru e rv :
r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), 1 - u^2)
Derivando em relação a u :
ru = (cos(v), sin(v), -2u)
Derivando em relação a v :
rv = (-u sin(v), u cos(v), 0)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial ru times rv :
ru times rv = i & j & k cos(v) & sin(v) & -2u - u sin(v) & u cos(v) & 0
Resolvendo o determinante:
ru times rv = ( sin(v) cdot 0 - (-2u) cdot u cos(v), -(cos(v) cdot 0 - (-2u) cdot (-u sin(v))), cos(v) cdot u cos(v) - sin(v) cdot (-u sin(v)) )
Simplificando:
ru times rv = (2u^2 cos(v), -2u^2 sin(v), u cos^2(v) + u sin^2(v))
E como cos^2(v) + sin^2(v) = 1 :
ru times rv = (2u^2 cos(v), -2u^2 sin(v), u)

Passo 6

Agora, precisamos expressar o campo vetorial F em termos de u e v . Como x = u cos(v) , y = u sin(v) , e z = 1 - u^2 , temos:
F(r(u, v)) = (u cos(v), u sin(v), 1)

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F cdot (ru times rv) :
F cdot (ru times rv) = (u cos(v))(2u^2 cos(v)) + (u sin(v))(-2u^2 sin(v)) + (1)(u)
Simplificando:
= 2u^3 cos^2(v) - 2u^3 sin^2(v) + u
Fatorando:
= 2u^3 (cos^2(v) - sin^2(v)) + u
E sabemos que cos^2(v) - sin^2(v) = cos(2v) , então:
= 2u^3 cos(2v) + u

Passo 8

Agora, montamos a integral dupla para o fluxo:
integral duplasigma F cdot (ru times rv) , du , dv = integral0^2pi integral1^2 (2u^3 cos(2v) + u) , du , dv

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em u :
integral1^2 (2u^3 cos(2v) + u) du = cos(2v) integral1^2 2u^3 du + integral1^2 u , du
Calculando:
= cos(2v) [ 2u^44 ]1^2 + [ u^22 ]1^2
Simplificando:
= cos(2v) [ u^42 ]1^2 + [ u^22 ]1^2
Calculando os limites:
= cos(2v) ( 162 - 12 ) + ( 42 - 12 )
= cos(2v) ( 152 ) + ( 32 )
= 152 cos(2v) + 32

Passo 10

Agora, integramos em v :
integral0^2pi ( 152 cos(2v) + 32 ) dv = 152 integral0^2pi cos(2v) dv + 32 integral0^2pi dv
Calculando cada parte:
= 152 [ sin(2v)2 ]0^2pi + 32 [ v ]0^2pi
Sabendo que sin(4pi) = sin(0) = 0 :
= 152 cdot 0 + 32 cdot 2pi
= 0 + 3pi
= 3pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície sigma é 3pi .

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