Seja f: R R uma função limitada. Calcule os limites abaixo, se existirem.
lim x 3 2 x^2-f(x) sen(x-3)x^2-2 x+2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função limitada f:RtoR e pede
limxto32x^2 - f(x),sen(x-3)x^2 -2x +2.
Aqui usaremos limites de funções contínuas para a parte polinomial e o lema do confronto (squeeze) para mostrar que f(x),sen(x-3)to0.

Passo 2

Avaliaremos o denominador, que é um polinômio contínuo:
limxto3(x^2 -2x +2) =3^2 -2cdot3 +2 =9 -6 +2 =5
Como este valor é diferente de zero, podemos aplicar o limite do quociente.

Passo 3

Para o fator f(x),sen(x-3), note que, como f é limitada, existe M>0 tal que lvert f(x)rvert<= M para todo x. Sabemos também que
lvert sen(x-3)rvert <= lvert x-3rvert
Logo,
llvert f(x),sen(x-3)rrvert <= M,lvert x-3rvert xrightarrow[xto3]0,
ou seja,
limxto3f(x),sen(x-3)=0

Passo 4

Agora calculamos o limite do numerador:
limxto3l(2x^2 - f(x),sen(x-3)r) = limxto32x^2 ;-;limxto3f(x),sen(x-3) =2cdot3^2 - 0 =18

Passo 5

Pelo resultado dos passos anteriores, o limite do quociente é
limxto32x^2 - f(x),sen(x-3)x^2 -2x +2 =185

Resposta

185

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