Determine se o campo vetorial F(x, y)=(x-y) i+(x-2) j é ou não conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por F(x, y) = (x - y) i + (x - 2) j. Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as condições que determinam se um campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial, ou seja, uma função cuja derivada dá exatamente o campo vetorial. Isso implica que o trabalho realizado ao se mover de um ponto a outro no campo é independente do caminho escolhido.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se um campo vetorial é conservativo, especialmente em duas dimensões, é usando a condição das derivadas parciais. Se o campo vetorial F = P i + Q j for conservativo, então a derivada parcial de Q em relação a x deve ser igual à derivada parcial de P em relação a y, ou seja:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Passo 4

Vamos identificar as funções P e Q no nosso campo vetorial:
P(x, y) = x - y Q(x, y) = x - 2

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x - 2)partial x = 1 partial Ppartial y = partial (x - y)partial y = -1

Passo 6

Comparando as derivadas:
partial Qpartial x = 1 partial Ppartial y = -1
Como 1 neq -1, as derivadas não são iguais.

Resposta

Como as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y não são iguais, o campo vetorial F(x, y) = (x - y) i + (x - 2) j não é conservativo.

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