Determine se o campo vetorial
é ou não conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
. Nosso objetivo é descobrir se esse campo é conservativo ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as condições que determinam se um campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial, ou seja, uma função cuja derivada dá exatamente o campo vetorial. Isso implica que o trabalho realizado ao se mover de um ponto a outro no campo é independente do caminho escolhido.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar se um campo vetorial é conservativo, especialmente em duas dimensões, é usando a condição das derivadas parciais. Se o campo vetorial
for conservativo, então a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Passo 4
Vamos identificar as funções
e
no nosso campo vetorial:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Comparando as derivadas:
Como
, as derivadas não são iguais.
Resposta
Como as derivadas parciais
e
não são iguais, o campo vetorial
não é conservativo.