Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como integral e^x^2 d x não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
d yd x=e^x^2 y^2, y(2)=1
A equação diferencial separa se dividirmos por y^2 e multiplicarmos por d x. Integramos a equação de separação de x=2 para x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1 , então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=e^x^2,y^2, y(2)=1
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis, mas ao integrar surge a integral
integral e^x^2dx
que não tem primitiva elementar. Para contornar isso, usamos integrais com limite superior variável.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por y^2 e multiplicando por dx:
1y^2,dy = e^x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado de x=2 até x=x1 (e de y(2)=1 até y(x1)):
integraly=1^y=y(x1)1y^2,dy = integralx=2^x=x1e^x^2,dx
No lado esquerdo temos
integral1^y(x1)y^-2,dy =-1y|1^y(x1) =-1y(x1)+1
Logo
-1y(x1)+1 =integral2^x1e^x^2,dx

Passo 4

Isolando y(x1) obtemos
-1y(x1) =integral2^x1e^x^2,dx-1 Longrightarrow 1y(x1) =1-integral2^x1e^x^2,dx
e portanto
y(x1) =gl(1-integral2^x1e^x^2,dxgr)^-1
Basta agora trocar x1 por x.

Resposta

y(x)=gl(1-integral2^xe^t^2,dtgr)^-1

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