Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
A equação diferencial separa se dividirmos por e multiplicarmos por . Integramos a equação de separação de para encontramos
Se considerarmos t a variável de integração e substituirmos x1 por x e y(2) por 1 , então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=e^x^2,y^2, y(2)=1
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis, mas ao integrar surge a integral integral e^x^2dx
que não tem primitiva elementar. Para contornar isso, usamos integrais com limite superior variável.
Passo 2
Separamos as variáveis dividindo por y^2 e multiplicando por dx:
1y^2,dy = e^x^2,dx
Passo 3
Agora integramos cada lado de x=2 até x=x1 (e de y(2)=1 até y(x1)):