Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
x^2 d x+2 y d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^2,dx + 2y,dy = 0,
com a condição inicial y(0)=2. Aqui o conteúdo é equações diferenciais de variáveis separáveis: vamos separar x e y, integrar e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação para separar variáveis, temos
2y,dy = -,x^2,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 2y,dy = integral -x^2,dx
que dá
y^2 = -x^33 + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=2. Ao substituir x=0 e y=2 em y^2 = -tfracx^33 + C, obtemos
(2)^2 = 0 + C Longrightarrow C = 4

Passo 5

Substituindo C=4 na expressão geral, chega-mos à solução implícita
y^2 = 4 - x^33
Como y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x) = raiz4 - x^33

Resposta

y(x) = raiz4 - x^33

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