Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y)=(ln (y^2+1), 2 y(x-1)y^2+1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y)=lnl(y^2+1r), Q(x,y)=2y,(x-1)y^2+1,
e pede para checar se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y). Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas num domínio simplesmente conexo e depois integrar para achar f.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =ddylnl(y^2+1r) =2yy^2+1,
e
partial Qpartial x =partialpartial x!l(2y,(x-1)y^2+1r) =2yy^2+1

Passo 3

Como o domínio é R^2 (simplesmente conexo) e
partial Ppartial y = partial Qpartial x,
concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) =integral lnl(y^2+1r),dx =x,lnl(y^2+1r)+h(y),
onde h(y) é uma função de y que falta determinar.

Passo 5

Diferenciando f em relação a y e igualando a Q:
partial fpartial y =xcdot2yy^2+1+h'(y) = 2y,(x-1)y^2+1
Isolando h'(y):
h'(y) =2y,(x-1)y^2+1-x2yy^2+1 =-2yy^2+1
Integrando em y:
h(y) =-integral2yy^2+1,dy =-lnl(y^2+1r)

Passo 6

Portanto
f(x,y) =x,lnl(y^2+1r) -lnl(y^2+1r) +C =(x-1),lnl(y^2+1r)+C

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=(x-1),lnl(y^2+1r)+C

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