Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e pede para checar se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais mistas num domínio simplesmente conexo e depois integrar para achar
.
Passo 2
Calculamos
e
Passo 3
Como o domínio é
(simplesmente conexo) e
concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
que falta determinar.
Passo 5
Diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Isolando
:
Integrando em
:
Passo 6
Portanto
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é