Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y, z)=(y+z, x-z, x+y^3).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y,z) = l(y+z,;x-z,;x+y^3r)
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. Como o domínio é todo R^3, que é aberto e simplesmente conexo, basta verificar se o rotacional de F é o vetor zero.

Passo 2

Calculamos o rotacional por
nabla times F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr),
onde P=y+z, Q=x-z e R=x+y^3. Então
partial Rpartial y =3y^2, partial Qpartial z =-1,
partial Ppartial z =1, partial Rpartial x =1,
partial Qpartial x =1, partial Ppartial y =1
Substituindo, obtemos
nabla times F = l(3y^2 - (-1),;1-1,;1-1r) = l(3y^2+1,;0,;0r)

Passo 3

Como nabla times F = (3y^2+1,0,0)neq (0,0,0) em geral, concluímos que F não é conservativo. Portanto não existe função potencial phi com nablaphi=F.

Resposta

O campo F(x,y,z)=(y+z,;x-z,;x+y^3) não é conservativo (seu rotacional não é nulo), logo não há função potencial.

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