Determine uma função
tal que
e use-a para calcular a integral de linha de
sobre a curva
dada:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de vetores
e a curva
,
.
Como é conservativo (isto é, existe
tal que
), vamos achar
e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
e a curva
Como
Passo 2
Para encontrar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante. Note que
Logo,
onde
é uma função a determinar.
Passo 3
Agora impomos
e igualamos a componente
de
, que é
. Daí
, logo
é constante. Podemos escolher
Passo 4
Para a integral de linha, avaliamos
nos pontos inicial e final de
:
dá
,
e dá
.
Pelo Teorema Fundamental,
e
Pelo Teorema Fundamental,