Determine uma função varphi tal que F=nabla varphi e use-a para calcular a integral de linha de F sobre a curva gamma dada:
F(x, y)=((1+x y) e^x y, x^2 e^x y), gamma(t)=(cos (t), 2 sen(t)), t in[0, pi / 2].

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de vetores
F(x,y)=l((1+xy)e^xy,,x^2e^xyr)
e a curva
gamma(t)=(cos t,,2sin t), tin[0,pi/2].
Como F é conservativo (isto é, existe varphi tal que nablavarphi=F), vamos achar varphi e usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
integralgammaFcdot dr =varphil(gamma(pi/2)r)-varphil(gamma(0)r)

Passo 2

Para encontrar varphi, integramos
partial varphipartial x=(1+xy)e^xy
em relação a x, tratando y como constante. Note que
ddxl(xe^xyr) =e^xy+xcdot y,e^xy =(1+xy)e^xy
Logo,
varphi(x,y)=x e^xy+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Agora impomos
partial varphipartial y =partialpartial yl(xe^xy+h(y)r) =x^2e^xy+h'(y)
e igualamos a componente y de F, que é x^2e^xy. Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos escolher
varphi(x,y)=x e^xy

Passo 4

Para a integral de linha, avaliamos varphi nos pontos inicial e final de gamma:
gamma(0)=(1,0)
varphi(1,0)=1cdot e^1cdot0=1,
e gamma(pi/2)=(0,2)
varphi(0,2)=0cdot e^0cdot2=0.
Pelo Teorema Fundamental,
integralgammaFcdot dr =varphil(gamma(pi/2)r)-varphil(gamma(0)r) =0-1=-1

Resposta

-1

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