Determine a capacitância de uma esfera condutora de raio 5 cm , totalmente imersa na água do \operatorname{mar}\left(\varepsilon_{r}=80\right).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: determinar a capacitância da esfera condutora.
  • Dados fornecidos:
    • raio da esfera: a=5\\ \text{cm}.
    • meio onde a esfera está totalmente imersa: água do mar com constante dielétrica relativa \varepsilon_{r}=80.
  • Observação importante: a esfera está isolada (condutora isolada) e cercada por um meio homogêneo com permissividade \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (com explicação didática).
  • Definição de capacitância: a capacitância C de um condutor isolado é a razão entre a carga Q que ele armazena e o potencial elétrico V da superfície em relação ao infinito:
    C=\frac{Q}{V}.
    Isso significa: quanto maior for a carga que gera certo potencial, maior é a capacitância; e quanto maior o potencial gerado por uma mesma carga, menor será a capacitância.
  • Campo elétrico fora de uma esfera carregada (simples e importante): para r\ge a (fora da esfera), o campo elétrico radial de uma carga Q concentrada na esfera é igual ao campo de uma carga pontual no centro:
    E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}},
    onde \varepsilon é a permissividade do meio ( \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r), r é a distância ao centro e a direção é radial.
  • Potencial da superfície da esfera (tomando V(\infty)=0): o potencial na superfície é a integral do negativo do campo desde o infinito até a:
    V=\int_{\infty}^{a} E(r)\,dr = \int_{\infty}^{a}\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}\,dr.
    Calculando a integral:
    V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left[-\frac{1}{r}\right]_{\infty}^{a}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{a}-0\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon a}.
    Portanto, substituindo em C=Q/V,
    C=4\pi\varepsilon a.
    Aqui:
    • C é a capacitância (em farads, F),
    • \varepsilon é a permissividade absoluta do meio (em F/m),
    • a é o raio da esfera (em m).
  • Observação didática: o efeito do meio homogêneo (água do mar) é simplesmente multiplicar a permissividade do vácuo \varepsilon_0 por \varepsilon_r. Assim, a presença do dielétrico aumenta a capacitância em um fator \varepsilon_r em relação ao caso no vácuo.

Passo 3

Converter unidades e reunir constantes numéricas (tudo em SI).
  • Converter o raio para metros: a=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m}.
  • Valor da permissividade do vácuo (constante conhecida): \varepsilon_0=8,854\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
  • Permissividade do meio: \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=(8,854\times10^{-12})\cdot 80.

Passo 4

Calcular numericamente \varepsilon e depois C, mostrando as contas passo a passo.
  • Calcular \varepsilon:
    \varepsilon=(8,854\times10^{-12})\cdot 80 = 7,0832\times10^{-10}\\ \text{F/m}.
    (Arredondei para 5 algarismos significativos; se preferir, pode manter mais casas.)
  • Usar a fórmula C=4\pi\varepsilon a. Primeiro calcule 4\pi a:
    4\pi a = 4\pi\cdot 0,05 \approx 0,6283185307.
  • Agora calcular C:
    C = (4\pi a)\,\varepsilon \approx 0,6283185307 \times 7,0832\times10^{-10}.
    Multiplicando:
    C \approx 4,449\times10^{-10}\\ \text{F}.

Passo 5

Interpretar o resultado, conversões úteis e comentário motivador.
  • Em outras unidades:
    C \approx 4,449\times10^{-10}\\ \text{F} = 4,449\times10^{2}\times10^{-12}\\ \text{F} \approx 445\\ \text{pF}.
    Ou ainda C\approx 0,445\\ \text{nF}.
  • Observação didática final: sem o dielétrico (no vácuo) a capacitância seria C_{vácuo}=4\pi\varepsilon_0 a\approx 5,56\times10^{-12}\\ \text{F}=5,56\\ \text{pF}á. A água do mar com \varepsilon_r=80 aumenta a capacitância em cerca de 80 vezes, passando para \approx 445\\ \text{pF}. Isso explica por que dielétricos aumentam a capacidade de armazenar carga para o mesmo potencial.
  • Força de incentivo: você conseguiu — a conta tem poucos passos e a ideia principal é lembrar que a capacitância de uma esfera isolada é 4\pi\varepsilon a; depois é só substituir e calcular.

Resposta

C \approx 4,45\times10^{-10}\\ \text{F} \;=\; 445\\ \text{pF}

Exercícios relacionados