Determine a capacitância de uma esfera condutora de raio 5 cm , totalmente imersa na água do
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: determinar a capacitância da esfera condutora.
- Dados fornecidos:
- raio da esfera:
. - meio onde a esfera está totalmente imersa: água do mar com constante dielétrica relativa
.
- raio da esfera:
- Observação importante: a esfera está isolada (condutora isolada) e cercada por um meio homogêneo com permissividade
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (com explicação didática).
-
Definição de capacitância: a capacitância
de um condutor isolado é a razão entre a carga que ele armazena e o potencial elétrico da superfície em relação ao infinito: Isso significa: quanto maior for a carga que gera certo potencial, maior é a capacitância; e quanto maior o potencial gerado por uma mesma carga, menor será a capacitância. -
Campo elétrico fora de uma esfera carregada (simples e importante): para
(fora da esfera), o campo elétrico radial de uma carga concentrada na esfera é igual ao campo de uma carga pontual no centro: ondeé a permissividade do meio ( ), é a distância ao centro e a direção é radial. -
Potencial da superfície da esfera (tomando
): o potencial na superfície é a integral do negativo do campo desde o infinito até : Calculando a integral:Portanto, substituindo em, Aqui:-
é a capacitância (em farads, F), -
é a permissividade absoluta do meio (em F/m), -
é o raio da esfera (em m).
-
-
Observação didática: o efeito do meio homogêneo (água do mar) é simplesmente multiplicar a permissividade do vácuo
por . Assim, a presença do dielétrico aumenta a capacitância em um fator em relação ao caso no vácuo.
Passo 3
Converter unidades e reunir constantes numéricas (tudo em SI).
- Converter o raio para metros:
- Valor da permissividade do vácuo (constante conhecida):
- Permissividade do meio:
Passo 4
Calcular numericamente
e depois
, mostrando as contas passo a passo.
-
Calcular
: (Arredondei para 5 algarismos significativos; se preferir, pode manter mais casas.) -
Usar a fórmula
. Primeiro calcule : -
Agora calcular
: Multiplicando:
Passo 5
Interpretar o resultado, conversões úteis e comentário motivador.
-
Em outras unidades:Ou ainda
. -
Observação didática final: sem o dielétrico (no vácuo) a capacitância seria
. A água do mar com aumenta a capacitância em cerca de 80 vezes, passando para . Isso explica por que dielétricos aumentam a capacidade de armazenar carga para o mesmo potencial. -
Força de incentivo: você conseguiu — a conta tem poucos passos e a ideia principal é lembrar que a capacitância de uma esfera isolada é
; depois é só substituir e calcular.