Duas esferas condutoras concêntricas com raios a=10 \mathrm{~mm} e b=50 \mathrm{~mm} estão separadas por um dielétrico com permissividade relativa igual a 2 . Calcule a capacitância deste dispositivo.

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados e pede a capacitância do dispositivo:
  • Raio da esfera interna: a=10\\ \mathrm{mm}.
  • Raio da esfera externa: b=50\\ \mathrm{mm}.
  • Permissividade relativa do dielétrico que preenche a região entre as esferas: \varepsilon_r=2.
  • Pedem a capacitância C do capacitor esférico concêntrico formado pelas duas esferas.
Passo importante de conversão de unidades (vou usar metros no cálculo):
  • a=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • b=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro, recordemos a definição de capacitância e o que precisamos calcular:
  • A capacitância é definida por C=\dfrac{Q}{V}, onde Q é a carga no condutor (esfera interna) e V é a diferença de potencial entre as esferas (potencial da esfera interna relativo à externa).
  • Para achar V vamos obter o campo elétrico E(r) entre as esferas e integrar E ao longo do caminho radial de r=a até r=b.
Vou explicar a lei que usamos para encontrar E(r):
  • A Lei de Gauss (no vácuo ou em um meio homogêneo isotrópico com permissividade \varepsilon) diz que para uma superfície esférica concêntrica de raio r envolvendo a carga Q,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon}.
  • Como o problema é simétrico (esferas concêntricas), \mathbf{E} é radial e constante sobre a superfície esférica, então \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • A permissividade do meio entre as esferas é \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0, onde \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Aplicando Gauss para obter E(r):
E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}.
Aqui:
  • r é a coordenada radial no intervalo a<r<b.
  • Q é a carga da esfera interna (assumimos carga +Q na interna e -Q na externa).
  • \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0.

Passo 4

Agora calculemos a diferença de potencial V entre as esferas pelo integral do campo:
V=\varphi(a)-\varphi(b)=\int_{b}^{a} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = \int_{b}^{a} E(r)\,dr.
Substituindo E(r):
V=\int_{b}^{a} \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}\,dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon}\int_{b}^{a} \frac{1}{r^{2}}\,dr.
Avaliaremos a integral:
\int_{b}^{a}\frac{1}{r^{2}}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{b}^{a} = -\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b}-\frac{1}{a}.
Portanto
V=\frac{Q}{4\pi \varepsilon}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon}\cdot\left(\frac{a-b}{ab}\right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
(ambas as formas são equivalentes; uso a última pois é a mais comum).

Passo 5

Agora usamos C=\dfrac{Q}{V}. Substituindo V obtido:
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)} = \frac{4\pi \varepsilon}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
Simplificando a expressão do denominador:
\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab},
logo
C = 4\pi \varepsilon \cdot \frac{ab}{b-a}.
Esta é a fórmula padrão para a capacitância de um capacitor formado por duas esferas concêntricas preenchidas por um dielétrico homogêneo com permissividade \varepsilon.

Passo 6

Agora vamos substituir os valores numéricos passo a passo. Primeiro a permissividade absoluta:
\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 = 2\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} = 1{,}7708375634\times 10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Calculemos \dfrac{ab}{b-a} com a=0,01\\ \mathrm{m} e b=0,05\\ \mathrm{m}:
ab = 0,01\cdot 0,05 = 0,0005\\ \mathrm{m^{2}},
b-a = 0,05-0,01 = 0,04\\ \mathrm{m},
\frac{ab}{b-a}=\frac{0,0005}{0,04}=0,0125\\ \mathrm{m}.
Agora a capacitância:
C = 4\pi \varepsilon \cdot 0,0125.
Podemos simplificar numericamente usando 4\pi\cdot 0,0125=\dfrac{\pi}{20}. Então
C = \frac{\pi}{20}\,\varepsilon.
Substituindo \varepsilon:
C = \frac{\pi}{20}\cdot 1{,}7708375634\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} \approx 2{,}780743\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma adequada, obtemos aproximadamente 2{,}78\times 10^{-12}\\ \mathrm{F}, ou seja cerca de 2{,}78\\ \mathrm{pF}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova:
  • A presença do dielétrico com \varepsilon_r=2 simplesmente dobra a permissividade em relação ao vácuo, e portanto dobra a capacitância que o arranjo teria em vácuo.
  • Em prova, decorre-se rapidamente a fórmula C=4\pi\varepsilon ab/(b-a) lembrando que ela vem diretamente de integrar o campo radial E(r)=Q/(4\pi\varepsilon r^{2}) e usar C=Q/V. Se lembrar disso, os passos são curtos e cansativos só na aritmética.

Resposta

C \approx 2,78\times 10^{-12}\\ \mathrm{F} = 2,78\\ \mathrm{pF}

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