Duas esferas condutoras concêntricas com raios
e
estão separadas por um dielétrico com permissividade relativa igual a 2 . Calcule a capacitância deste dispositivo.
Passo 1
O enunciado fornece claramente os seguintes dados e pede a capacitância do dispositivo:
- Raio da esfera interna:
. - Raio da esfera externa:
. - Permissividade relativa do dielétrico que preenche a região entre as esferas:
. - Pedem a capacitância
do capacitor esférico concêntrico formado pelas duas esferas.
Passo importante de conversão de unidades (vou usar metros no cálculo):
-
. -
.
Passo 2
Primeiro, recordemos a definição de capacitância e o que precisamos calcular:
- A capacitância é definida por
, onde é a carga no condutor (esfera interna) e é a diferença de potencial entre as esferas (potencial da esfera interna relativo à externa). - Para achar
vamos obter o campo elétrico entre as esferas e integrar ao longo do caminho radial de até .
Vou explicar a lei que usamos para encontrar
:
- A Lei de Gauss (no vácuo ou em um meio homogêneo isotrópico com permissividade
) diz que para uma superfície esférica concêntrica de raio envolvendo a carga ,
- Como o problema é simétrico (esferas concêntricas),
é radial e constante sobre a superfície esférica, então . - A permissividade do meio entre as esferas é
, onde .
Passo 3
Aplicando Gauss para obter
:
Aqui:
-
é a coordenada radial no intervalo . -
é a carga da esfera interna (assumimos carga na interna e na externa). -
.
Passo 4
Agora calculemos a diferença de potencial
entre as esferas pelo integral do campo:
Substituindo
:
Avaliaremos a integral:
Portanto
(ambas as formas são equivalentes; uso a última pois é a mais comum).
Passo 5
Agora usamos
. Substituindo
obtido:
Simplificando a expressão do denominador:
logo
Esta é a fórmula padrão para a capacitância de um capacitor formado por duas esferas concêntricas preenchidas por um dielétrico homogêneo com permissividade
.
Passo 6
Agora vamos substituir os valores numéricos passo a passo. Primeiro a permissividade absoluta:
Calculemos
com
e
:
Agora a capacitância:
Podemos simplificar numericamente usando
. Então
Substituindo
:
Arredondando de forma adequada, obtemos aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Interpretação rápida e dica de prova:
- A presença do dielétrico com
simplesmente dobra a permissividade em relação ao vácuo, e portanto dobra a capacitância que o arranjo teria em vácuo. - Em prova, decorre-se rapidamente a fórmula
lembrando que ela vem diretamente de integrar o campo radial e usar . Se lembrar disso, os passos são curtos e cansativos só na aritmética.