Determine a característica das seguintes matrizes:
\E=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ -2 & -1 & -3 \\\\ 4 & 2 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
E = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ -2 & -1 & -3\\\\ 4 & 2 & 6 \end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{4\times3} e pede a sua característica, ou seja, o posto (rank) de E. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e contar o número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada.

Passo 2

Escolhemos o elemento e_{11}=2 como pivô e zeramos as entradas abaixo dele nas colunas 1 a 3, aplicando operações de linha:
\begin{aligned} L_2 &\leftarrow L_2 + L_1,\\\ L_3 &\leftarrow L_3 + L_1,\\\ L_4 &\leftarrow L_4 - 2\,L_1. \end{aligned}
Isso leva a
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na segunda linha o pivô é o 1 em (2,2). As linhas 3 e 4 já são totalmente nulas, então não há mais pivôs.

Passo 4

O número de pivôs é 2, logo o posto de E é 2.

Resposta

O posto (característica) da matriz E é 2.

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