Um plano de equação geral
a x+b y+c z+10=0
passa pelo ponto A=(-4,-1,-1) e é paralelo às direções dos vetores \vec{u}=(1,-1,-6) e \vec{v}=(6,-8,0).
Determine o valor do parâmetro b.

Passo 1

O enunciado dá o plano de equação geral
a x + b y + c z + 10 = 0
que passa por A = (-4,-1,-1) e é paralelo aos vetores \vec u = (1,-1,-6) e \vec v = (6,-8,0).
O vetor normal ao plano é \vec n = (a,b,c). Vamos usar:
  1. \vec n perpendicular a \vec u e a \vec v.
  2. O ponto A satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Perpendicularidade \vec n\cdot\vec u=0 e \vec n\cdot\vec v=0 gera
a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot(-6) = 0
a\cdot6 + b\cdot(-8) + c\cdot0 = 0

Passo 3

Da segunda equação temos
6a - 8b = 0 \;\Longrightarrow\; 3a - 4b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{4b}{3}.
Substituindo em a - b - 6c = 0 vem
\frac{4b}{3} - b - 6c = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{b}{3} = 6c \;\Longrightarrow\; c = \frac{b}{18}.

Passo 4

Como A pertence ao plano, substituímos x=-4, y=-1, z=-1 em a x + b y + c z +10=0:
-4a - b - c + 10 = 0.
Troca a e c por suas expressões em b:
-4\!\Bigl(\tfrac{4b}{3}\Bigr) - b - \frac{b}{18} + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; -\,\frac{16b}{3} - b - \frac{b}{18} + 10 = 0.
Multiplicando tudo por 18:
-96b - 18b - b + 180 = 0 \;\Longrightarrow\; -115b + 180 = 0 \;\Longrightarrow\; b = \frac{180}{115} = \frac{36}{23}.

Resposta

\displaystyle b = \frac{36}{23}.

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