Sejam
um espaço vetorial e
. Diga se sào verdadeiras ou falsas as expressions abaiko justificando sua resposta.
(a) ( ) Se
é linearmente independente e
então
é linearmente independente.
(b) ( ) Se
é linearmente independente e
então
é linearmente dependente.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas afirmações sobre independência linear em um espaço vetorial
. Precisamos usar a definição de conjunto linearmente independente: um conjunto
é linearmente independente se a única combinação linear
que dá zero é aquela em que todos os escalares
são zero.
Passo 2
Para a afirmação (a), o que está dito é: “Se
é linearmente independente e
, então
é linearmente independente.” Ou seja, toda vez que eu ampliar um conjunto independente, continuo independente? Em geral, não: acrescentar vetores pode introduzir dependências.
Contraexemplo para (a): seja ,
Contraexemplo para (a): seja
Então
é independente em
, mas se eu definir
então já existe relação não trivial
logo
é dependente. Logo a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Para a afirmação (b), diz-se: “Se
é linearmente independente e
, então
é linearmente dependente.” Mas existe um resultado clássico: toda parte de um conjunto independente também é independente. Portanto não faz sentido afirmar que um subconjunto de um conjunto independente seria dependente.
Contraexemplo para (b): no mesmo independente, basta pegar
. Como
, o conjunto
é independente. Logo a declaração de dependência de
é falsa.
Contraexemplo para (b): no mesmo
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(b) Falsa.