Sejam V um espaço vetorial e A, B C V. Diga se sào verdadeiras ou falsas as expressions abaiko justificando sua resposta.
(a) ( ) Se A é linearmente independente e B \supset A então B é linearmente independente.
(b) ( ) Se A é linearmente independente e B \subset A então B é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas afirmações sobre independência linear em um espaço vetorial V. Precisamos usar a definição de conjunto linearmente independente: um conjunto S\subset V é linearmente independente se a única combinação linear
\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0,\quad v_i\in S,
que dá zero é aquela em que todos os escalares \alpha_i são zero.

Passo 2

Para a afirmação (a), o que está dito é: “Se A é linearmente independente e B\supset A, então B é linearmente independente.” Ou seja, toda vez que eu ampliar um conjunto independente, continuo independente? Em geral, não: acrescentar vetores pode introduzir dependências.
Contraexemplo para (a): seja V=\mathbb{R}^2,
A = \{(1,0),(0,1)\}.
Então A é independente em \mathbb{R}^2, mas se eu definir
B = \{(1,0),(0,1),(1,1)\},
então já existe relação não trivial
(1,1) - (1,0) - (0,1) = (0,0),
logo B é dependente. Logo a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Para a afirmação (b), diz-se: “Se A é linearmente independente e B\subset A, então B é linearmente dependente.” Mas existe um resultado clássico: toda parte de um conjunto independente também é independente. Portanto não faz sentido afirmar que um subconjunto de um conjunto independente seria dependente.
Contraexemplo para (b): no mesmo A=\{v_1,v_2,\dots\} independente, basta pegar B=\{v_1\}. Como v_1\neq0, o conjunto \{v_1\} é independente. Logo a declaração de dependência de B é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

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