Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em série RLC, supondo
,
e
. Considere
e
. Qual é a carga no capacitor após um longo período? Faça o gráfico das funções carga e corrente usando um recurso gráfico (GeoGebra).
Passo 1
O enunciado trata de um circuito série RLC alimentado por uma fonte contínua de tensão
. Temos
,
,
e condições iniciais
,
. O que precisamos é modelar a carga
no capacitor por uma EDO de segunda ordem e então obter a corrente
.
Passo 2
Escrevendo a lei de tensões de Kirchhoff para o RLC série, obtemos
Substituindo
,
,
e
, fica
Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
Passo 3
A equação homogênea é
O polinômio característico é
, cujo discriminante é
. Logo
indicando regime subamortecido. A solução geral homogênea é
Passo 4
Para a solução particular de regime permanente, procuramos
constante. Substituindo
na EDO reduz-se a
Passo 5
A solução geral completa é
Passo 6
Usamos
e
. Em
temos
Agora calculamos
. Derivando
:
Em
:
Passo 7
Substituindo
, obtemos
e a corrente
Passo 8
Após um longo período
, o termo transitório decai e sobra
Passo 9
Para esboçar os gráficos de
e
no GeoGebra, basta inserir as funções
e ajustar o domínio
.
Resposta
Carga no capacitor após longo período:
.