Determine a carga no capacitor e a corrente no circuito em série RLC, supondo L=12 H, R=10 Omega, C=0,01 F e E(t)=150 V. Considere Q(0)=1 C e i(0)=0 A. Qual é a carga no capacitor após um longo período? Faça o gráfico das funções carga e corrente usando um recurso gráfico (GeoGebra).

Passo 1

O enunciado trata de um circuito série RLC alimentado por uma fonte contínua de tensão E(t)=150 V. Temos L=tfrac12 H, R=10 Omega, C=0,01 F e condições iniciais Q(0)=1 C, i(0)=0 A. O que precisamos é modelar a carga Q(t) no capacitor por uma EDO de segunda ordem e então obter a corrente i(t)=Q'(t).

Passo 2

Escrevendo a lei de tensões de Kirchhoff para o RLC série, obtemos
L,Q''(t)+R,Q'(t)+1C,Q(t)=E(t)
Substituindo L=tfrac12, R=10, C=0,01 e E(t)=150, fica
12,Q''(t)+10,Q'(t)+100,Q(t)=150
Multiplicando tudo por 2 para simplificar,
Q''(t)+20,Q'(t)+200,Q(t)=300

Passo 3

A equação homogênea é
Q''+20Q'+200Q=0
O polinômio característico é r^2+20r+200=0, cujo discriminante é 400-800=-400. Logo
r=-10pm10,i,
indicando regime subamortecido. A solução geral homogênea é
Qh(t)=e^-10tl(Acos(10t)+Bsin(10t)r)

Passo 4

Para a solução particular de regime permanente, procuramos Qp constante. Substituindo Qp na EDO reduz-se a
200,Qp=300 Longrightarrow Qp=1,5 C

Passo 5

A solução geral completa é
Q(t)=Qp+Qh(t) =1,5+e^-10tl(Acos(10t)+Bsin(10t)r)

Passo 6

Usamos Q(0)=1 e i(0)=Q'(0)=0. Em t=0 temos
Q(0)=1,5+A=1 Longrightarrow A=-0,5
Agora calculamos Q'(t). Derivando Qh:
Q'(t)=e^-10tl((-10A+10B)cos(10t)+(-10B-10A)sin(10t)r)
Em t=0:
Q'(0)=-10A+10B=0 Longrightarrow -10(-0,5)+10B=0 Longrightarrow B=-0,5

Passo 7

Substituindo A=B=-0,5, obtemos
Q(t) =1,5+e^-10tl(-0,5cos(10t)-0,5sin(10t)r),
e a corrente
i(t)=Q'(t) =10,e^-10tsin(10t)

Passo 8

Após um longo período ttoinfty, o termo transitório decai e sobra
limttoinftyQ(t)=1,5 C

Passo 9

Para esboçar os gráficos de Q(t) e i(t) no GeoGebra, basta inserir as funções
Q(t)=1,5-0,5,e^-10tl(cos(10t)+sin(10t)r), i(t)=10,e^-10tsin(10t),
e ajustar o domínio t>=0.

Resposta

Q(t)=1,5-0,5,e^-10tl(cos(10t)+sin(10t)r)
i(t)=10,e^-10tsin(10t)
Carga no capacitor após longo período: 1,5 C.

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