Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima (use g=32 pés / s^2 ). Classifique o tipo de movimento.

Passo 1

No enunciado temos um sistema massa-mola-amortecedor onde um peso de 8 libras estica a mola 2 pés. A matéria envolvida é equações diferenciais de segunda ordem para sistemas mecânicos, e vamos precisar da fórmula clássica:
A equação de movimento é
m x'' + c x' + k x = 0
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento e k a constante da mola.

Passo 2

Primeiro encontramos os parâmetros do sistema usando g=32 ft/s²:
  • A massa é dada por m=tfracWg=tfrac832=tfrac14 slug.
  • A constante da mola vem de k,de, logo k=tfrac82=4 lb/ft.
  • O enunciado diz que a força amortecedora vale duas vezes a velocidade, então c=2 (unidades lb·s/ft).

Passo 3

Agora substituímos em
m x'' + c x' + k x = 0
para obter
tfrac14 x'' + 2x' + 4x = 0
Multiplicando tudo por 4 para simplificar, fica
x'' + 8x' + 16x = 0

Passo 4

Para resolver, montamos a equação característica:
r^2 + 8r + 16 = 0
que é
(r+4)^2 = 0
Logo há raiz real dupla r=-4.

Passo 5

A solução geral para raiz dupla é
x(t) = (C1 + C2 t)e^-4t
As condições iniciais são: solto da posição de equilíbrio, então x(0)=0, e velocidade inicial para cima de 3 ft/s, logo x'(0)=3. Aplicando:
  • x(0)=C1=0.
  • Diferenciando e avaliando em t=0 C2=3.
Portanto
x(t) = 3t ,e^-4t

Resposta

A equação de movimento é
x(t)=3t,e^-4t
Esse sistema é criticamente amortecido (amortecimento crítico).

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