Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima (use
pés
). Classifique o tipo de movimento.
Passo 1
No enunciado temos um sistema massa-mola-amortecedor onde um peso de 8 libras estica a mola 2 pés. A matéria envolvida é equações diferenciais de segunda ordem para sistemas mecânicos, e vamos precisar da fórmula clássica:
A equação de movimento é
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento e
a constante da mola.
Passo 2
Primeiro encontramos os parâmetros do sistema usando
ft/s²:
- A massa é dada por
slug. - A constante da mola vem de
, logo lb/ft. - O enunciado diz que a força amortecedora vale duas vezes a velocidade, então
(unidades lb·s/ft).
Passo 3
Agora substituímos em
para obter
Multiplicando tudo por 4 para simplificar, fica
Passo 4
Para resolver, montamos a equação característica:
que é
Logo há raiz real dupla
.
Passo 5
A solução geral para raiz dupla é
As condições iniciais são: solto da posição de equilíbrio, então
, e velocidade inicial para cima de 3 ft/s, logo
. Aplicando:
-
. - Diferenciando e avaliando em
dá .
Portanto
Resposta
A equação de movimento é
Esse sistema é criticamente amortecido (amortecimento crítico).