Um peso de 20 libras distende uma mola em 1 / 2 pé. O peso é solto do repouso 1 / 2 pé abaixo da posição de equilíbrio (use g=32 pés / s^2 ).
Em que instante o peso passa pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola em que um peso de 20 libras estende a mola em 1/2 pé. O peso é solto do repouso estando 1/2 pé abaixo da posição de equilíbrio. O conteúdo envolve movimento harmônico simples (MHS) e resolução da equação diferencial
m,y'' + k,y = 0
com condições iniciais, onde y(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.

Passo 2

Calculamos a massa m e a constante elástica k:
— A massa em unidades de slug vem de m = pesog = 2032 = tfrac58.
— A constante da mola satisfaz k,x = peso, logo
k = 20tfrac12 = 40(libras por pé) é

Passo 3

Escrevemos a equação de movimento e as condições iniciais. Tomando y positivo para baixo a partir do equilíbrio, temos
58,y'' + 40,y = 0 Longrightarrow y'' + 64,y = 0
Como o peso é solto do repouso 1/2 pé abaixo do equilíbrio,
y(0)=tfrac12, y'(0)=0

Passo 4

Resolvemos a equação diferencial de MHS. A solução geral é
y(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t),
com omega = raiz64=8. As condições iniciais dão A = y(0)=tfrac12 e B de y'(0)=0 implica B=0. Logo
y(t) = 12cos(8t)

Passo 5

O peso passa pela posição de equilíbrio sempre que y(t)=0, isto é
12cos(8t)=0 Longrightarrow cos(8t)=0 Longrightarrow 8t = pi2 + npi
O primeiro instante positivo ocorre para n=0:
8t = pi2 Longrightarrow t = pi16 segundos

Resposta

t = pi16 s

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