Um peso de 4,9 N é atado a uma mola de a 1,5 m de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 2,48 m. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento x(t) se é sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea. Classifique o tipo de movimento e represente a solução na forma alternativa.

Passo 1

O enunciado nos dá um peso de 4,9 N suspenso por uma mola de comprimento natural 1,5 m que, ao atingir o equilíbrio, mede 2,48 m. Além disso há resistência viscosa cuja força é numericamente igual à velocidade instantânea. Queremos modelar o deslocamento x(t) em relação à posição de equilíbrio. O conteúdo é a equação diferencial de segunda ordem para sistema massa–mola–amortecedor.

Passo 2

A massa m vem de
m=pesog=4,99,8=0,5 kg
A constante elástica k satisfaz
k=pesoelongação=4,92,48-1,5=4,90,98=5 N/m çã
O coeficiente de amortecimento é c=1 Ncdot s/m (força igual à velocidade).

Passo 3

Medindo x a partir da posição de equilíbrio, a EDO é
m,x''+c,x'+k,x=0
que, substituindo m, c e k, torna\‐se
0,5,x''+1,x'+5,x=0 Longrightarrow x''+2,x'+10,x=0

Passo 4

A equação característica é
r^2+2r+10=0
com raízes
r=-1pm3i
Logo o movimento é subamortecido e a solução geral é
x(t)=e^-tl(Acos(3t)+Bsin(3t)r)

Passo 5

Condições iniciais: ao soltar de 2 m acima do equilíbrio, x(0)=2; e parte do repouso, x'(0)=0.
De x(0)=A=2 e de
x'(t)=e^-tl[(-A+3B)cos(3t)+(-B-3A)sin(3t)r],
temos em t=0: -A+3B=0Rightarrow B=tfrac A3=tfrac23.
Portanto
x(t)=e^-tl(2cos(3t)+tfrac23sin(3t)r)

Passo 6

O movimento é um subamortecido (oscilações decaindo exponencialmente). Na forma alternativa (amplitude–fase):
x(t)=C,e^-tcosl(3t-de<ar),
onde
C=raiz2^2+l(tfrac23r)^2=2raiz103, de<a=arctan!l(tfrac2/32r)=arctan!l(tfrac13r)

Resposta

x(t)=e^-tl(2cos(3t)+tfrac23sin(3t)r),
movimento subamortecido, ou alternativamente
x(t)=2raiz103,e^-tcos!l(3t-arctan(tfrac13)r)

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