Um peso de
é atado a uma mola de a
de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de
. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de equilíbrio, encontre o deslocamento
se é sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea. Classifique o tipo de movimento e represente a solução na forma alternativa.
Passo 1
O enunciado nos dá um peso de
suspenso por uma mola de comprimento natural
que, ao atingir o equilíbrio, mede
. Além disso há resistência viscosa cuja força é numericamente igual à velocidade instantânea. Queremos modelar o deslocamento
em relação à posição de equilíbrio. O conteúdo é a equação diferencial de segunda ordem para sistema massa–mola–amortecedor.
Passo 2
A massa
vem de
A constante elástica
satisfaz
O coeficiente de amortecimento é
(força igual à velocidade).
Passo 3
Medindo
a partir da posição de equilíbrio, a EDO é
que, substituindo
,
e
, torna\‐se
Passo 4
A equação característica é
com raízes
Logo o movimento é subamortecido e a solução geral é
Passo 5
Condições iniciais: ao soltar de
acima do equilíbrio,
; e parte do repouso,
.
De e de
De
temos em
:
.
Portanto
Portanto
Passo 6
O movimento é um subamortecido (oscilações decaindo exponencialmente). Na forma alternativa (amplitude–fase):
onde
Resposta
movimento subamortecido, ou alternativamente