Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segundo grau com condições iniciais. A equação que temos é
e as condições iniciais são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, os valores de
são complexos e podemos escrevê-los como:
Passo 4
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: