Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segundo grau com condições iniciais. A equação que temos é y'' + 4y' + 5y = 0 e as condições iniciais são y(0) = 1 e y'(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos y'' por r^2 , y' por r e y por 1. Assim, fica:
r^2 + 4r + 5 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 4 e c = 5 . Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4
Como o discriminante é negativo, os valores de r são complexos e podemos escrevê-los como:
r = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Passo 4

Com as raízes complexas -2 pm i , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^-2t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, quando t = 0 :
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) = C1 = 1
Então, C1 = 1 .
Agora, vamos encontrar a derivada de y(t) :
y'(t) = e^-2t ( -2(C1 cos(t) + C2 sin(t)) + (-C1 sin(t) + C2 cos(t)) )
Aplicando t = 0 :
y'(0) = ( -2(1 cdot 1 + C2 cdot 0) + (-1 cdot 0 + C2 cdot 1) ) = -2 + C2 = 0
Então, C2 = 2 .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^-2t ( cos(t) + 2 sin(t) )

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