Determine d(Q, r) no caso Q=(1,1,0) e
r:l x=2+t y=2 t ; t in R z=1-t

Passo 1

O enunciado pede a distância de Q=(1,1,0) até a reta r definida por
x=2+t, y=2t, z=1-t, tinR
O conteúdo é a distância ponto–reta no espaço, que se calcula via produto vetorial entre o vetor direção da reta e o vetor que vai de um ponto da reta até Q.

Passo 2

Escolhemos um ponto P0 na reta tomando t=0, logo
P0=(2,0,1)
O vetor direção da reta é
v=(1,2,-1)
Então o vetor de P0 a Q é
P0Q=Q-P0=(1-2,,1-0,,0-1)=(-1,1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
P0Qtimesv =(-1,1,-1)times(1,2,-1) =(1,-2,-3)
A norma desse vetor é
|(1,-2,-3)|=raiz1^2+(-2)^2+(-3)^2=raiz14

Passo 4

A norma de v é
|v|=raiz1^2+2^2+(-1)^2=raiz6
Pela fórmula da distância ponto–reta:
d(Q,r) =|P0Qtimesv||v| =raiz14raiz6 =raiz146 =raiz73

Resposta

d(Q,r)=raiz73=raiz213

Exercícios relacionados