Determine a distância entre o ponto P0 e o plano pi nos seguintes casos:
P0=(2,2,4) e pi: X=(1,0,1)+h(1,1,1)+t(1,2,3), h, t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P0=(2,2,4) e o plano pi dado parametricamente por
X=(1,0,1)+h(1,1,1)+t(1,2,3), h,tinR
Para isso vamos usar o fato de que, se n é um vetor normal à pi e P é um ponto qualquer em pi, então
d=lvert ncdot(P0-P)rvertlVert nrVert
é a distância de P0 ao plano.

Passo 2

Extraímos dois vetores diretores de pi:
v=(1,1,1), w=(1,2,3)
O vetor normal é o produto vetorial
n=vtimes w=(1,1,1)times(1,2,3)=(1,-2,1)

Passo 3

Escolhemos como ponto P da pi o ponto-base (1,0,1). Então
P0-P=(2,2,4)-(1,0,1)=(1,2,3)
e
ncdot(P0-P)=1cdot1+(-2)cdot2+1cdot3=1-4+3=0
Assim
d=lvert 0rvertraiz1^2+(-2)^2+1^2=0

Resposta

A distância entre P0 e o plano pi é 0.

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