Seja f(x, y) uma função diferenciável, determine a derivada de f(x, y) ao longo da curva gamma(t)=(r cos theta, r sen theta)

Passo 1

Vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Temos uma função diferenciável f(x,y) e uma curva gamma(t)=(x(t),y(t)) dada em coordenadas polares por
x(t)=r(t)costheta(t), y(t)=r(t)sintheta(t)
O que precisamos é calcular
ddtfl(x(t),y(t)r)

Passo 2

Primeiro escrevemos as derivadas de x(t) e y(t). Como
x(t)=r(t)costheta(t),
usamos produto e cadeia para obter
dxdt =ddtl[r(t)r]costheta(t) + r(t)ddtl[costheta(t)r] = r'(t)costheta(t) - r(t),theta'(t)sintheta(t)
De modo análogo, como
y(t)=r(t)sintheta(t),
temos
dydt =r'(t)sintheta(t)+r(t),theta'(t)costheta(t)

Passo 3

A regra da cadeia para f(x,y) diz que
ddtfl(x(t),y(t)r) =fxl(x(t),y(t)r),dxdt +fyl(x(t),y(t)r),dydt,
onde fx e fy são as derivadas parciais de f.

Passo 4

Substituindo os valores de dxdt e dydt encontramos
ddtfl(x(t),y(t)r) =fxl(x,yr)l(r'costheta - r,theta'sinthetar) +fyl(x,yr)l(r'sintheta + r,theta'costhetar)

Passo 5

Podemos reorganizar em termos de r' e theta':
ddtf =r'l(fxcostheta+fysinthetar) +theta',rl(-fxsintheta+fycosthetar)
Note que fxcostheta+fysintheta é partial f/partial r e -fxsintheta+fycostheta é (1/r),partial f/partialtheta, recuperando a forma clássica em coordenadas polares.

Resposta

ddtfl(rcostheta,rsinthetar) =fxl(rcostheta,rsinthetar)l(r'costheta-r,theta'sinthetar) +fyl(rcostheta,rsinthetar)l(r'sintheta+r,theta'costhetar)

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