Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso:
A=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular inferior com todas as entradas da diagonal iguais a 1, ela é invertível. Para achar A^{-1} usaremos a ideia de escrever
A = I + N,
onde N é estritamente triangular inferior (nilpotente).

Passo 2

Definimos
N = A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 0 & 0\\\\ 4 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Como N é estritamente triangular de ordem 4, temos N^4 = 0.

Passo 3

Calculamos as potências necessárias de N:
N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 4 & 0 & 0 & 0\\\\ 12 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 8 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para uma matriz da forma I+N com N^4=0, vale a série finita
(I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3.

Passo 5

Substituindo em I - N + N^2 - N^3 obtemos
A^{-1} = I - N + N^2 - N^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

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