Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso:
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\\\ 4 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 4 & -1 & 0\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é inversão de matrizes, e vamos usar o método de resolver A B = I, onde B=A^{-1}.

Passo 2

Observamos que A é triangular inferior e que seus elementos diagonais são não nulos ( 2, -1, -1), logo A é invertível. Isso implica que B também é triangular inferior, podendo ser escrita como
B = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & 0\\\ b_{21} & b_{22} & 0\\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}.
Para determinar os b_{ij}, impomos A B = I.

Passo 3

Da igualdade A B = I, comparando as entradas diagonais ( i=j), obtemos:
2\,b_{11}=1,\quad (-1)\,b_{22}=1,\quad (-1)\,b_{33}=1.
Logo
b_{11} = \tfrac12,\quad b_{22} = -1,\quad b_{33} = -1.

Passo 4

Agora usamos as entradas fora da diagonal. Para a posição (2,1) de A B=I vale
4\,b_{11} + (-1)\,b_{21} = 0.
Substituindo b_{11}=\tfrac12 obtemos
b_{21} = 2.
Para a posição (3,2) vale
3\,b_{22} + (-1)\,b_{32} = 0.
Substituindo b_{22}=-1 resulta em
b_{32} = -3.

Passo 5

Por fim, na posição (3,1) de A B=I temos
2\,b_{11} + 3\,b_{21} + (-1)\,b_{31} = 0.
Substituindo b_{11}=\tfrac12 e b_{21}=2 segue
b_{31} = 7.

Resposta

A inversa de A é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 7 & -3 & -1 \end{pmatrix}.

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