Supondo as matrizes A, B e C inversíveis, determine X em cada equação.
a. A X B=C
b. A B=C X
c. (A X)^{-1} B=B C
d. \left[(A X)^{-1} B\right]^{T}=C

Passo 1

O enunciado dá três matrizes invertíveis A, B e C e pede para isolar X em cada equação. Vamos usar a propriedade básica de que, se uma matriz M é invertível, então podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por M^{-1} à direita ou à esquerda para “livrar” M, além da relação
(M^{-1})^{T} \;=\;(M^{T})^{-1}.

Passo 2

(a) Para \;A\,X\,B=C:
multiplicamos à esquerda por A^{-1} e à direita por B^{-1}. Logo,
A^{-1}(A\,X\,B)\,B^{-1}=A^{-1}C\,B^{-1}
como A^{-1}A=I e B\,B^{-1}=I, fica
X = A^{-1}C\,B^{-1}.

Passo 3

(b) Para \;A\,B = C\,X:
multiplicamos à esquerda por C^{-1}. Assim,
C^{-1}(A\,B)=C^{-1}(C\,X) \quad\Longrightarrow\quad C^{-1}A\,B = X.

Passo 4

(c) Para \;(A\,X)^{-1}\,B = B\,C:
primeiro isolamos (A\,X)^{-1} multiplicando à direita por B^{-1}:
(A\,X)^{-1} = B\,C\,B^{-1}.
Em seguida, invertendo ambos os lados, e lembrando que (P\,Q)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}, temos
A\,X = (B\,C\,B^{-1})^{-1} = B\,C^{-1}\,B^{-1}.
Finalmente multiplicamos à esquerda por A^{-1}:
X = A^{-1}B\,C^{-1}\,B^{-1}.

Passo 5

(d) Para \;\bigl[(A\,X)^{-1}\,B\bigr]^{T} = C:
começamos aplicando a propriedade de transposta de produto:
\bigl((A\,X)^{-1}B\bigr)^{T} = B^{T}\bigl((A\,X)^{-1}\bigr)^{T} = C.
Como \bigl((A\,X)^{-1}\bigr)^{T}=(A\,X)^{-T}=( (A\,X)^{T})^{-1}, obtemos
B^{T}( (A\,X)^{T})^{-1} = C \quad\Longrightarrow\quad B^{T} = C\,(A\,X)^{T}.
Transpondo ambos os lados:
(B^{T})^{T} = \bigl(C\,(A\,X)^{T}\bigr)^{T} \;\Longrightarrow\; B = X\,A\,C^{T}.
Isolando X fica
X = B\,(A\,C^{T})^{-1} = B\,(C^{T})^{-1}\,A^{-1}.

Resposta

(a) \displaystyle X = A^{-1}C\,B^{-1}.
(b) \displaystyle X = C^{-1}A\,B.
(c) \displaystyle X = A^{-1}B\,C^{-1}\,B^{-1}.
(d) \displaystyle X = B\,(C^{T})^{-1}\,A^{-1}.

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