Determine, caso exista, o maior subconjunto de R^2 em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
f(x, y)=e^x-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de pontos no plano R^2 onde a função f(x, y) = e^x - y^2 é diferenciável. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar se a função tem derivadas parciais em todos os pontos e se essas derivadas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas variam de forma contínua ao redor desse ponto. Isso basicamente garante que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente perto desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = e^x - y^2. A derivada parcial em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x e^x - y^2 = e^x - y^2 cdot 1 = e^x - y^2
E a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y e^x - y^2 = e^x - y^2 cdot (-2y) = -2y e^x - y^2

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. A função exponencial e^x - y^2 é contínua para todos os valores de x e y em R^2. Além disso, as funções 1 e -2y também são contínuas em todo R^2. Como o produto de funções contínuas é contínuo, tanto fx(x, y) quanto fy(x, y) são contínuas em todo o plano.

Passo 5

Como as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo o conjunto R^2, podemos concluir que a função f(x, y) = e^x - y^2 é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f(x, y) = e^x - y^2 é diferenciável em todo o conjunto R^2.

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