Determine, caso exista, o maior subconjunto de
em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de pontos no plano
onde a função
é diferenciável. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar se a função tem derivadas parciais em todos os pontos e se essas derivadas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas variam de forma contínua ao redor desse ponto. Isso basicamente garante que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente perto desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. A função exponencial
é contínua para todos os valores de
e
em
. Além disso, as funções
e
também são contínuas em todo
. Como o produto de funções contínuas é contínuo, tanto
quanto
são contínuas em todo o plano.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo o conjunto
, podemos concluir que a função
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o conjunto
.