Determine, caso exista, o maior subconjunto de
em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
onde
é diferenciável. O conteúdo usado será o critério de diferenciabilidade para funções de duas variáveis: se as derivadas parciais existem num ponto e são contínuas num entorno, então a função é diferenciável ali.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Observamos que ambas as derivadas parciais são polinômios em
e
. Logo, existem para todo
e são contínuas em
.
Passo 4
Pelo teorema que garante diferenciabilidade se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto, concluímos que
é diferenciável em cada ponto de
.
Resposta
O maior subconjunto de diferenciabilidade de
é
.