Determine, caso exista, o maior subconjunto de R^2 em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
f(x, y)=x^4+y^3

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de R^2 onde
f(x,y)=x^4+y^3
é diferenciável. O conteúdo usado será o critério de diferenciabilidade para funções de duas variáveis: se as derivadas parciais existem num ponto e são contínuas num entorno, então a função é diferenciável ali.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=4x^3
partial fpartial y(x,y)=3y^2

Passo 3

Observamos que ambas as derivadas parciais são polinômios em x e y. Logo, existem para todo (x,y)inR^2 e são contínuas em R^2.

Passo 4

Pelo teorema que garante diferenciabilidade se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto, concluímos que f é diferenciável em cada ponto de R^2.

Resposta

O maior subconjunto de diferenciabilidade de f é R^2.

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