Determine, caso exista, o maior subconjunto de
em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
onde
é diferenciável.
Conteúdo: domínio de logaritmo em base variável e diferenciabilidade de composições e quocientes de funções elementares.
Conteúdo: domínio de logaritmo em base variável e diferenciabilidade de composições e quocientes de funções elementares.
Passo 2
Encontrar o domínio de definição de
. Para
em
precisamos:
- A base
ser positiva e diferente de : - O argumento
ser positivo:
Passo 3
Verificações:
-
vale para todo , pois e soma com é estritamente positiva. -
implica . -
implica .
Logo o domínio de
é
Passo 4
Para analisar diferenciabilidade, reescrevemos usando log natural:
Aqui:
-
é diferenciável em todo . -
é diferenciável para . - O quociente de funções diferenciáveis é diferenciável onde o denominador é não nulo, ou seja
, que coincide com .
Passo 5
Concluímos que
é diferenciável exatamente em todo o domínio
encontrado, pois suas obstruções de definição são as mesmas que as de diferenciabilidade.
Resposta
O maior subconjunto de diferenciabilidade é
isto é,
.