Determine, caso exista, o maior subconjunto de R^2 em que cada função a seguir é diferenciável. Justifique a sua resposta!
f(x, y)=log x-1(1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de R^2 onde
f(x,y)=logx-1l(1+x^2+y^2r)
é diferenciável.
Conteúdo: domínio de logaritmo em base variável e diferenciabilidade de composições e quocientes de funções elementares.

Passo 2

Encontrar o domínio de definição de f. Para loga(u) em R precisamos:
  1. A base a ser positiva e diferente de 1: x-1>0 e x-1neq1
  2. O argumento u=1+x^2+y^2 ser positivo: 1+x^2+y^2>0

Passo 3

Verificações:
  • 1+x^2+y^2>0 vale para todo (x,y), pois x^2+y^2>=0 e soma com 1 é estritamente positiva.
  • x-1>0 implica x>1.
  • x-1neq1 implica xneq2.
Logo o domínio de f é
D=l(x,y)inR^2 mid x>1,;xneq2r

Passo 4

Para analisar diferenciabilidade, reescrevemos usando log natural:
f(x,y) =logx-1(1+x^2+y^2) =ln!l(1+x^2+y^2r)ln(x-1)
Aqui:
  • ln(1+x^2+y^2) é diferenciável em todo R^2.
  • ln(x-1) é diferenciável para x>1.
  • O quociente de funções diferenciáveis é diferenciável onde o denominador é não nulo, ou seja ln(x-1)neq0, que coincide com xneq2.

Passo 5

Concluímos que f é diferenciável exatamente em todo o domínio D encontrado, pois suas obstruções de definição são as mesmas que as de diferenciabilidade.

Resposta

O maior subconjunto de diferenciabilidade é
(x,y)inR^2 mid x>1,;xneq2,
isto é, (1,2)timesRcup(2,infty)timesR.

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