Uma produção de caixas depende de dois materiais, onde x é uma madeira e y uma cola especial. Cada madeira custa 3 reais e cada cola custa 2 reais. Responda:
Determine a direção, na qual, o custo cresce de forma mais rápida.
Determine a direção, na qual, o custo cresce de forma mais rápida.
Passo 1
O enunciado define o custo em função de
(número de madeiras) e
(número de colas) por
onde cada madeira custa R$
e cada cola R$
. Queremos achar a direção em que
cresce mais rápido, ou seja, usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
, que reúne as taxas de variação em cada coordenada. Em display:
Passo 3
Pela teoria da derivada direcional, o crescimento máximo de uma função ocorre na direção do seu gradiente. Em qualquer ponto
, a derivada direcional máxima vale
e o vetor diretor é exatamente
.
Passo 4
Para especificar uma direção unitária (normalizada), dividimos
pelo seu comprimento:
logo a direção de crescimento mais rápido é
Resposta
A direção de crescimento mais rápido é dada por
; em forma unitária,
.