Uma produção de caixas depende de dois materiais, onde x é uma madeira e y uma cola especial. Cada madeira custa 3 reais e cada cola custa 2 reais. Responda:
Determine a direção, na qual, o custo cresce de forma mais rápida.

Passo 1

O enunciado define o custo em função de x (número de madeiras) e y (número de colas) por
C(x,y)=3x+2y,
onde cada madeira custa R$ (3) e cada cola R e cada cola R$ 2. Queremos achar a direção em que C cresce mais rápido, ou seja, usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de C, que reúne as taxas de variação em cada coordenada. Em display:
nabla C(x,y) =l(partial Cpartial x,,partial Cpartial yr) =(3,2)

Passo 3

Pela teoria da derivada direcional, o crescimento máximo de uma função ocorre na direção do seu gradiente. Em qualquer ponto (x,y), a derivada direcional máxima vale |nabla C| e o vetor diretor é exatamente nabla C.

Passo 4

Para especificar uma direção unitária (normalizada), dividimos nabla C pelo seu comprimento:
|nabla C|=raiz3^2+2^2=raiz13,
logo a direção de crescimento mais rápido é
nabla C|nabla C| =1raiz13,(3,2) =l(tfrac3raiz13,,tfrac2raiz13r)

Resposta

A direção de crescimento mais rápido é dada por (3,2); em forma unitária,
l(tfrac3raiz13,tfrac2raiz13r).

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