Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a reta e plano dados abaixo:
& r:l x=5-t y=3 t z=1+t e & M: 2 x-y+3 z=6

Passo 1

Enunciado: a gente precisa achar o ponto onde a reta r, dada por x=5−t, y=3t e z=1+t, corta o plano M: 2x−y+3z=6. Matéria: geometria analítica de reta e plano. Vamos usar a ideia de substituir as coordenadas paramétricas no plano para encontrar o parâmetro t.

Passo 2

Um ponto genérico da reta é P(t)=(x,y,z)=(5−t,3t,1+t).

Passo 3

Substituímos P(t) na equação do plano:
2(5−t)−(3t)+3(1+t)=6

Passo 4

Simplificando essa equação:
10−2t−3t+3+3t=6
o que leva a
-2t+13=6
e assim obtemos
t=72.

Passo 5

Agora, substituímos t=\frac{7}{2} em P(t) para achar as coordenadas:
x=5−\frac{7}{2}=\frac{3}{2}, y=3·\frac{7}{2}=\frac{21}{2}, z=1+\frac{7}{2}=\frac{9}{2}.

Resposta

(tfrac32,tfrac212,tfrac92)

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