Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: ℝ³→ℝ³ dada por T(x,y,z)=(2x+y−2z, 3y−2z, y) é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de transformações lineares: precisamos encontrar os autovalores e autovetores de T e checar se conseguimos 3 autovetores linearmente independentes (ou seja, se a soma das dimensões dos autespaços é 3).
Passo 2
Primeiro representamos T na base canônica por uma matriz A. Como T(x,y,z)=(2x+y−2z, 3y−2z, y), temos
Passo 3
Em seguida calculamos o polinômio característico χ_A(λ)=det(A−λI). Temos
Portanto
que simplifica para
Passo 4
Do fator χ_A(λ)=(2-λ)(λ-1)(λ-2) vemos os autovalores: λ=1 com multiplicidade algébrica 1 e λ=2 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Para λ=1, resolvemos (A−I)v=0. O sistema é
Dessas equações vem y=z e x=z, logo todo autovetor é múltiplo de (1,1,1). A dimensão do autespaço de λ=1 é 1.
Passo 6
Para λ=2, resolvemos (A−2I)v=0. O sistema se reduz a
que dá y=2z, sem restrição em x. Assim os autovetores são dados por (x,2z,z)=x(1,0,0)+z(0,2,1). A dimensão do autespaço de λ=2 é 2.
Passo 7
Como as dimensões dos autespaços somam 1+2=3, obtemos três autovetores linearmente independentes. Isso garante que T é diagonalizável.
Resposta
A transformação linear T é diagonalizável.