Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x+y-2 z, 3 y-2 z, y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: ℝ³→ℝ³ dada por T(x,y,z)=(2x+y−2z, 3y−2z, y) é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de transformações lineares: precisamos encontrar os autovalores e autovetores de T e checar se conseguimos 3 autovetores linearmente independentes (ou seja, se a soma das dimensões dos autespaços é 3).

Passo 2

Primeiro representamos T na base canônica por uma matriz A. Como T(x,y,z)=(2x+y−2z, 3y−2z, y), temos
A=2&1&-20&3&-20&1&0

Passo 3

Em seguida calculamos o polinômio característico χ_A(λ)=det(A−λI). Temos
A-λI=2-λ&1&-20&3-λ&-20&1&-λ
Portanto
χA(λ)=det(A-λI)=(2-λ)det3-λ&-21&-λ=(2-λ)[(3-λ)(-λ)-(-2·1)]
que simplifica para
χA(λ)=(2-λ)(λ^2-3λ+2)=(2-λ)(λ-1)(λ-2)

Passo 4

Do fator χ_A(λ)=(2-λ)(λ-1)(λ-2) vemos os autovalores: λ=1 com multiplicidade algébrica 1 e λ=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para λ=1, resolvemos (A−I)v=0. O sistema é
x+y-2z=02y-2z=0y-z=0
Dessas equações vem y=z e x=z, logo todo autovetor é múltiplo de (1,1,1). A dimensão do autespaço de λ=1 é 1.

Passo 6

Para λ=2, resolvemos (A−2I)v=0. O sistema se reduz a
y-2z=0
que dá y=2z, sem restrição em x. Assim os autovetores são dados por (x,2z,z)=x(1,0,0)+z(0,2,1). A dimensão do autespaço de λ=2 é 2.

Passo 7

Como as dimensões dos autespaços somam 1+2=3, obtemos três autovetores linearmente independentes. Isso garante que T é diagonalizável.

Resposta

A transformação linear T é diagonalizável.

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