Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a reta e plano dados abaixo:
& r:l x=2 y=3+2 t z=-2-2 t e & M: 6 x+3 y-4 z=-12

Passo 1

O enunciado nos dá uma reta em forma paramétrica e um plano em forma geral. O conteúdo é interseção de reta e plano, e para resolver precisamos saber que um ponto da reta pertence ao plano se suas coordenadas paramétricas satisfazem a equação do plano. Então basta substituir x(t),y(t),z(t) na equação do plano e resolver para t.

Passo 2

A reta é dada por
x=2, y=3+2t, z=-2-2t
e o plano por
6x+3y-4z=-12
Vamos substituir as expressões de x,y,z na equação do plano.

Passo 3

Substituindo:
6cdot 2 + 3(3+2t) -4(-2-2t) = -12
Calculando o lado esquerdo:
12 + 9 + 6t + 8 + 8t = 29 + 14t
Então temos
29 + 14t = -12
que leva a
14t = -41
e portanto
t = -4114

Passo 4

Agora encontramos o ponto de interseção substituindo t=-tfrac4114 nas equações da reta:
x=2, y=3+2l(-tfrac4114r)=3-tfrac8214= -tfrac207, z=-2-2l(-tfrac4114r)=-2+tfrac8214=tfrac277
Como o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o normal do plano não é zero, a reta não é paralela e a interseção é única.

Passo 5

Portanto existe interseção e o ponto é dado pelas coordenadas obtidas.

Resposta

l(2, -tfrac207, tfrac277r)

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