Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis.
T: P2(R) P2(R), T(p)=p^prime.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: P2( R)to P2( R), definida por T(p)=p', é diagonalizável. O conteúdo envolve autovalores, autovetores e critério de diagonalização (necessário que a soma das dimensões dos espaços próprios seja igual a dim=3).

Passo 2

Vamos escolher a base canônica B = (1,x,x^2) de P2( R) e determinar a matriz de T nessa base. Calculamos: T(1)=0, T(x)=1, T(x^2)=2x Logo,
[T] B= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Passo 3

O polinômio característico é dado por chi(lambda)=det([T]-lambda I)=(-lambda)^3=-lambda^3. Daí o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para verificar a multiplicidade geométrica, resolvemos T(p)=0, ou seja p'=0. As únicas soluções são os polinômios constantes, gerando um espaço próprio de dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (3), não há base formada só por autovetores.

Passo 5

Pelo critério de diagonalização, é preciso ter para cada autovalor que a multiplicidade geométrica iguale a algébrica. Aqui isso não ocorre, logo T não é diagonalizável.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável.

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