Verifique quais das transformações lineares abaixo são diagonalizáveis. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear T: , definida por , é diagonalizável. O conteúdo envolve autovalores, autovetores e critério de diagonalização (necessário que a soma das dimensões dos espaços próprios seja igual a ).
Passo 2
Vamos escolher a base canônica de e determinar a matriz de nessa base. Calculamos: Logo,
Passo 3
O polinômio característico é dado por chi(lambda)=det([T]-lambda I)=(-lambda)^3=-lambda^3. Daí o único autovalor é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para verificar a multiplicidade geométrica, resolvemos T(p)=0, ou seja p'=0. As únicas soluções são os polinômios constantes, gerando um espaço próprio de dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (3), não há base formada só por autovetores.
Passo 5
Pelo critério de diagonalização, é preciso ter para cada autovalor que a multiplicidade geométrica iguale a algébrica. Aqui isso não ocorre, logo T não é diagonalizável.