Exercício 3 Seja T: R^2 R^2 a transformação linear que tem os auto-valores 2 e 3 . Suponha que (1,2) é auto-vetor associado ao auto-valor 2 e que (-1,1) é autovetor associado ao autovalor 3 . Escreva a espressão de T(x, y).

Passo 1

A transformação linear T: ℝ²→ℝ² tem auto‐valores 2 e 3 com autovetores (1,2) e (−1,1), respectivamente. Para achar T(x,y) precisamos usar a base formada por esses autovetores e lembrar que T(v)=λv para cada autovetor.

Passo 2

Qualquer vetor (x,y) em ℝ² pode ser escrito como combinação linear dos autovetores. Vamos pôr
(x,y)=a(1,2)+b(-1,1)
Isso facilita porque T(a v₁ + b v₂)=aT(v₁)+bT(v₂)=2a v₁+3b v₂.

Passo 3

Da igualdade a - b = x, 2a + b = y extraímos o sistema
a=x+y3
Somando as equações dá 3a=x+y, logo
b=y-2x3
Para b podemos usar b=a−x ou b=y−2a, concluindo

Passo 4

Agora aplicamos T em (x,y):
T(x,y)=2a(1,2)+3b(-1,1)=(2a - 3b, 4a + 3b)

Passo 5

Substituindo a=\frac{x+y}{3} e b=\frac{y-2x}{3} e simplificando, obtemos
T(x,y)=l(8x - y3,-2x + 7y3r)

Resposta

T(x,y)=l(tfrac8x - y3,tfrac-2x + 7y3r)

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