Exercício 3 Seja
a transformação linear que tem os auto-valores 2 e 3 . Suponha que
é auto-vetor associado ao auto-valor 2 e que
é autovetor associado ao autovalor 3 . Escreva a espressão de
.
Passo 1
A transformação linear T: ℝ²→ℝ² tem auto‐valores 2 e 3 com autovetores (1,2) e (−1,1), respectivamente. Para achar T(x,y) precisamos usar a base formada por esses autovetores e lembrar que T(v)=λv para cada autovetor.
Passo 2
Qualquer vetor (x,y) em ℝ² pode ser escrito como combinação linear dos autovetores. Vamos pôr
Isso facilita porque T(a v₁ + b v₂)=aT(v₁)+bT(v₂)=2a v₁+3b v₂.
Passo 3
Da igualdade
extraímos o sistema
Somando as equações dá 3a=x+y, logo
Para b podemos usar b=a−x ou b=y−2a, concluindo
Passo 4
Agora aplicamos T em (x,y):
Passo 5
Substituindo a=\frac{x+y}{3} e b=\frac{y-2x}{3} e simplificando, obtemos