9- Encontre as dimensões de uma caixa sem tampa com volume de 1000 \mathrm{~cm}^{3} que tenha a área de uma superficie mínima.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede: encontrar as dimensões de uma caixa sem tampa (ou seja, aberta em cima) que tem volume 1000\\ \mathrm{cm}^3 e que minimize a área da superfície (área lateral + base).
  • Informações dadas:
    • Volume fixo: V=1000\\ \mathrm{cm}^3.
    • A caixa não tem tampa.
  • O que preciso encontrar: as dimensões da caixa — comprimento, largura e altura (posso chamar comprimento e largura de x e y e a altura de h) — que tornam a área da superfície mínima sujeita à restrição do volume.

Passo 2

Definir variáveis e escrever as fórmulas básicas (explicando cada símbolo).
  • Seja x o comprimento da base (em cm), y a largura da base (em cm) e h a altura da caixa (em cm). Todas as três variáveis são positivas: x>0,\\ y>0,\\ h>0.
  • Volume: o volume de uma caixa retangular é base vezes altura, ou seja
V = x y h.
Aqui V é dado: V=1000\\ \mathrm{cm}^3.
  • Área da superfície sem tampa: é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Como não há tampa, a área total a minimizar é
S = \text{área da base} + \text{área das 4 faces laterais} = x y + 2 x h + 2 y h.áá
Explicando termos: x y é a área da base; cada face lateral com dimensão x\times h aparece duas vezes (duas faces x por h), e idem para y\times h.

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar h e obter uma função de duas variáveis.
Da relação do volume temos
h=\frac{V}{xy}.
Substituindo isso em S obtemos S em função apenas de x e y:
S(x,y)=xy+2x\!\left(\frac{V}{xy}\right)+2y\!\left(\frac{V}{xy}\right).
Simplificando cada termo com h:
S(x,y)=xy+\frac{2V}{y}+\frac{2V}{x}.
Comentário didático: agora temos uma função de duas variáveis S(x,y) que podemos minimizar em x>0,y>0. Isso elimina h e incorpora a condição de volume.

Passo 4

Explicar o método escolhido para minimizar e por que: cálculo de derivadas parciais.
  • Método: como S(x,y) é diferenciável e o domínio é x>0,y>0, procuramos pontos críticos resolvendo \nabla S=0, ou seja as derivadas parciais \dfrac{\partial S}{\partial x} e \dfrac{\partial S}{\partial y} iguais a zero.
  • Motivo: pontos críticos candidatos e, depois, teste de segunda derivada (Hessiana) para verificar mínimo.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais e achar os pontos críticos.
Calculando \dfrac{\partial S}{\partial x}:
\frac{\partial S}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy+\frac{2V}{y}+\frac{2V}{x}\right) = y + 0 - \frac{2V}{x^2}.
Portanto
\frac{\partial S}{\partial x}= y - \frac{2V}{x^2}.
Calculando \dfrac{\partial S}{\partial y}:
\frac{\partial S}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy+\frac{2V}{y}+\frac{2V}{x}\right) = x - \frac{2V}{y^2}.
Portanto
\frac{\partial S}{\partial y}= x - \frac{2V}{y^2}.
Pontos críticos resolvem o sistema
\begin{cases} y - \dfrac{2V}{x^2}=0,\\[6pt] x - \dfrac{2V}{y^2}=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema de equações para encontrar x e y.
Da primeira equação vem
y=\frac{2V}{x^2}.
Substituindo na segunda:
x - \frac{2V}{\left(\dfrac{2V}{x^2}\right)^2}=0.
Calcule o denominador:
\left(\frac{2V}{x^2}\right)^2=\frac{4V^2}{x^4}.
Então
x - \frac{2V}{\dfrac{4V^2}{x^4}}=0.
Simplificando a fração:
\frac{2V}{\dfrac{4V^2}{x^4}} = 2V\cdot\frac{x^4}{4V^2} = \frac{x^4}{2V}.
Logo a equação fica
x - \frac{x^4}{2V}=0.
Colocando em evidência x\neq0:
x\left(1 - \frac{x^3}{2V}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad 1 - \frac{x^3}{2V}=0.
Assim
x^3 = 2V.
Portanto
x = (2V)^{1/3}.
Pela simetria do sistema (ou substituindo de volta), obtemos também y=x. Conclusão: a base é quadrada: x=y=(2V)^{1/3}.

Passo 7

Encontrar h a partir do volume e obter formas exatas e numéricas para V=1000.
Usando h=\dfrac{V}{xy} e x=y temos
h=\frac{V}{x^2}=\frac{V}{\bigl((2V)^{1/3}\bigr)^2}=\frac{V}{(2V)^{2/3}}.
Simplificando a potência:
h = V^{1 - 2/3} \, 2^{-2/3} = V^{1/3} 2^{-2/3}.
Observação conveniente: como x=(2V)^{1/3}, podemos escrever
h=\frac{x}{2}.
Agora substituir V=1000\\ \mathrm{cm}^3:
x=y=(2\cdot 1000)^{1/3}=(2000)^{1/3}.
Como (2000)^{1/3}=10\cdot 2^{1/3} e 2^{1/3}\approx 1{,}259921, obtemos numericamente
x=y\approx 12{,}599\\ \mathrm{cm}.
E
h=\frac{x}{2}\approx 6{,}2996\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}300\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificar que o ponto crítico é um mínimo (teste da Hessiana), e comentar a interpretação física.
  • Cálculo das segundas derivadas:
\frac{\partial^2 S}{\partial x^2}=\frac{4V}{x^3},\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial y^2}=\frac{4V}{y^3},\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}=1.
No ponto x=y=(2V)^{1/3} temos
\frac{\partial^2 S}{\partial x^2}=\frac{4V}{x^3}=\frac{4V}{2V}=2, \qquad \frac{\partial^2 S}{\partial y^2}=2, \qquad \frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}=1.
Determinante da Hessiana:
D = \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}\frac{\partial^2 S}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}\right)^2 = 2\cdot2 - 1^2 = 3>0.
E \dfrac{\partial^2 S}{\partial x^2}=2>0. Logo a Hessiana é positiva definida no ponto crítico, o que garante que se trata de um mínimo local. Como a função cresce quando x ou y vai para 0 ou para infinito, esse mínimo local é o mínimo global — a solução procurada.
Interpretação física e dica para prova: para a caixa sem tampa de volume fixo, a base fica quadrada e a altura vale metade do lado da base na configuração que minimiza a área. Isso é útil para lembrar rápido.

Resposta

x=y=(2000)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 12{,}599\\ \mathrm{cm}
h=\dfrac{(2000)^{1/3}}{2}\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}300\\ \mathrm{cm}

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