9- Encontre as dimensões de uma caixa sem tampa com volume de 1000 \mathrm{~cm}^{3} que tenha a área de uma superficie mínima.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais dados temos.
O enunciado pede: encontrar as dimensões de uma caixa sem tampa (ou seja, aberta em cima) que tem volume 1000\\ \mathrm{cm}^3 e que minimize a área da superfície (área lateral + base).
Informações dadas:
Volume fixo: V=1000\\ \mathrm{cm}^3.
A caixa não tem tampa.
O que preciso encontrar: as dimensões da caixa — comprimento, largura e altura (posso chamar comprimento e largura de x e y e a altura de h) — que tornam a área da superfície mínima sujeita à restrição do volume.
Passo 2
Definir variáveis e escrever as fórmulas básicas (explicando cada símbolo).
Seja x o comprimento da base (em cm), y a largura da base (em cm) e h a altura da caixa (em cm). Todas as três variáveis são positivas: x>0,\\ y>0,\\ h>0.
Volume: o volume de uma caixa retangular é base vezes altura, ou seja
V = x y h.
Aqui V é dado: V=1000\\ \mathrm{cm}^3.
Área da superfície sem tampa: é a área da base mais a área das quatro faces laterais. Como não há tampa, a área total a minimizar é
S = \text{área da base} + \text{área das 4 faces laterais} = x y + 2 x h + 2 y h.
Explicando termos: x y é a área da base; cada face lateral com dimensão x\times h aparece duas vezes (duas faces x por h), e idem para y\times h.
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar h e obter uma função de duas variáveis.
Da relação do volume temos
h=\frac{V}{xy}.
Substituindo isso em S obtemos S em função apenas de x e y:
Comentário didático: agora temos uma função de duas variáveis S(x,y) que podemos minimizar em x>0,y>0. Isso elimina h e incorpora a condição de volume.
Passo 4
Explicar o método escolhido para minimizar e por que: cálculo de derivadas parciais.
Método: como S(x,y) é diferenciável e o domínio é x>0,y>0, procuramos pontos críticos resolvendo \nabla S=0, ou seja as derivadas parciais \dfrac{\partial S}{\partial x} e \dfrac{\partial S}{\partial y} iguais a zero.
Motivo: pontos críticos candidatos e, depois, teste de segunda derivada (Hessiana) para verificar mínimo.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais e achar os pontos críticos.
E \dfrac{\partial^2 S}{\partial x^2}=2>0. Logo a Hessiana é positiva definida no ponto crítico, o que garante que se trata de um mínimo local. Como a função cresce quando x ou y vai para 0 ou para infinito, esse mínimo local é o mínimo global — a solução procurada.
Interpretação física e dica para prova: para a caixa sem tampa de volume fixo, a base fica quadrada e a altura vale metade do lado da base na configuração que minimiza a área. Isso é útil para lembrar rápido.