Exercício 07: Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a frase abaixo é uma proposição ou não, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
Informações dadas:
- A frase apresenta três quantificadores:
, e . - O predicado interno é
. - Não há outras informações externas fornecidas.
O que é pedido:
- Dizer se essa frase é uma proposição (ou seja, se tem um valor de verdade bem definido).
- Justificar formalmente essa classificação com base na Definição 2 (a definição de proposição indicada pelo professor).
Passo 2
Explicação didática da ideia central da Definição 2 (o que normalmente se entende por “proposição” em lógica matemática):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: é ou verdadeira ou falsa (não ambígua).
- Formalmente, uma fórmula com símbolos lógicos e variáveis é uma proposição exatamente quando ela é uma fórmula fechada, isto é, quando não possui variáveis livres: todas as variáveis aparecem dentro do alcance de quantificadores que as vinculam (estão “ligadas” ou “bound”).
- Se houver alguma variável livre, a expressão não tem valor de verdade fixo enquanto não se atribuir valor a essa variável; nesse caso não é, por si só, uma proposição.
Vou usar essa versão da Definição 2: “Uma expressão é proposição se for uma fórmula bem formada sem variáveis livres (fórmula fechada), e portanto possui valor de verdade bem definido.”
Passo 3
Explicação dos quantificadores e do que significa variável livre/ligada (didático, passo a passo):
- O quantificador
significa "para todo em ". Quando escrito, ele vincula a variável no predicado que vem a seguir. - O quantificador
vincula a variável . - O quantificador
vincula a variável . - Uma variável é livre em uma fórmula se ela não estiver dentro do alcance (scope) de nenhum quantificador que a vincule. Por exemplo, a expressão
sozinha tem as três variáveis livres; mas quando se antepõe quantificadores que as capturam, essas variáveis deixam de ser livres. - Na frase dada, todas as variáveis que aparecem (
, , ) aparecem imediatamente associadas a quantificadores. Portanto não há variáveis livres.
Passo 4
Aplicação direta da Definição 2 à frase: checagem formal de fechamento
- A fórmula completa é
- Verificando variável a variável:
-
é quantificado por . -
é quantificado por . -
é quantificado por .
-
- Como não resta nenhuma variável sem quantificador, a fórmula é uma fórmula fechada (sem variáveis livres).
- Pela Definição 2 (proposição = fórmula fechada com valor de verdade bem definido), conclui-se que sintaticamente a frase é uma proposição (isto é, está no tipo de enunciado que pode ser verdadeiro ou falso, sem dependência de atribuições externas).
Passo 5
Agora: determinar o valor de verdade (mostrar que é verdadeira ou falsa). Isso é parte natural da justificativa formal — uma proposição é bem-classificada se soubermos seu valor de verdade.
A frase afirma que "para todo
e para todo
existe
com
". Essa é precisamente a afirmação de que os números racionais são densos nos reais. Vou provar que essa afirmação é verdadeira.
Prova (passo a passo, usando o Princípio Arquimediano):
- Tome
arbitrário e arbitrário. - Pelo Princípio Arquimediano existe um inteiro positivo
tal que (Explicação: o Princípio Arquimediano diz que para todo real positivo existe com .) - Considere o número
. Existe um inteiro tal que isto é, tome (a parte inteira de ). - Defina
Então (razão de inteiros, denominador não nulo). - Compare
e : Portanto Assim - Como
pela escolha de , temos - Conclusão: para esse
e construímos com . Como e eram arbitrários, a afirmação vale para todo e todo .
Portanto a proposição é verdadeira.
Passo 6
Observações finais didáticas e reforço (como lembrar disso na prova):
- Sintaxe: sempre primeiro verifique se há variáveis livres. Se não houver, é proposição (tem chances de ser verdadeira ou falsa). Se houver variáveis livres, não é proposição até que se atribuam valores ou se quantifiquem.
- Semântica: depois de verificar que é proposição fechada, determine seu valor de verdade. Aqui usamos uma prova construtiva (arquimediana) que fornece, dado
, um racional com . - Intuição prática: para qualquer real você pode aproximá-lo por uma fração com denominador grande; aumentando o denominador consegue aproximação tão boa quanto quiser — é a densidade de
em .
Resposta
A frase é uma proposição e é verdadeira.