Exercício 07: Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
\forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon>0, \exists r \in \mathbb{Q} tal que |x-r|<\varepsilon.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a frase abaixo é uma proposição ou não, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
\forall x \in \mathbb{R},\\ \forall \varepsilon>0,\\ \exists r \in \mathbb{Q}\\ \text{tal que}\\ |x-r|<\varepsilon.
Informações dadas:
  • A frase apresenta três quantificadores: \forall x\in\mathbb{R}, \forall \varepsilon>0 e \exists r\in\mathbb{Q}.
  • O predicado interno é |x-r|<\varepsilon.
  • Não há outras informações externas fornecidas.
O que é pedido:
  • Dizer se essa frase é uma proposição (ou seja, se tem um valor de verdade bem definido).
  • Justificar formalmente essa classificação com base na Definição 2 (a definição de proposição indicada pelo professor).

Passo 2

Explicação didática da ideia central da Definição 2 (o que normalmente se entende por “proposição” em lógica matemática):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: é ou verdadeira ou falsa (não ambígua).
  • Formalmente, uma fórmula com símbolos lógicos e variáveis é uma proposição exatamente quando ela é uma fórmula fechada, isto é, quando não possui variáveis livres: todas as variáveis aparecem dentro do alcance de quantificadores que as vinculam (estão “ligadas” ou “bound”).
  • Se houver alguma variável livre, a expressão não tem valor de verdade fixo enquanto não se atribuir valor a essa variável; nesse caso não é, por si só, uma proposição.
Vou usar essa versão da Definição 2: “Uma expressão é proposição se for uma fórmula bem formada sem variáveis livres (fórmula fechada), e portanto possui valor de verdade bem definido.”

Passo 3

Explicação dos quantificadores e do que significa variável livre/ligada (didático, passo a passo):
  • O quantificador \forall x\in\mathbb{R} significa "para todo x em \mathbb{R}". Quando escrito, ele vincula a variável x no predicado que vem a seguir.
  • O quantificador \forall \varepsilon>0 vincula a variável \varepsilon.
  • O quantificador \exists r\in\mathbb{Q} vincula a variável r.
  • Uma variável é livre em uma fórmula se ela não estiver dentro do alcance (scope) de nenhum quantificador que a vincule. Por exemplo, a expressão |x-r|<\varepsilon sozinha tem as três variáveis x,r,\varepsilon livres; mas quando se antepõe quantificadores que as capturam, essas variáveis deixam de ser livres.
  • Na frase dada, todas as variáveis que aparecem ( x, \varepsilon, r) aparecem imediatamente associadas a quantificadores. Portanto não há variáveis livres.

Passo 4

Aplicação direta da Definição 2 à frase: checagem formal de fechamento
  • A fórmula completa é \forall x\in\mathbb{R}\;\forall \varepsilon>0\;\exists r\in\mathbb{Q}\; (|x-r|<\varepsilon).
  • Verificando variável a variável:
    • x é quantificado por \forall x\in\mathbb{R}.
    • \varepsilon é quantificado por \forall \varepsilon>0.
    • r é quantificado por \exists r\in\mathbb{Q}.
  • Como não resta nenhuma variável sem quantificador, a fórmula é uma fórmula fechada (sem variáveis livres).
  • Pela Definição 2 (proposição = fórmula fechada com valor de verdade bem definido), conclui-se que sintaticamente a frase é uma proposição (isto é, está no tipo de enunciado que pode ser verdadeiro ou falso, sem dependência de atribuições externas).

Passo 5

Agora: determinar o valor de verdade (mostrar que é verdadeira ou falsa). Isso é parte natural da justificativa formal — uma proposição é bem-classificada se soubermos seu valor de verdade.
A frase afirma que "para todo x\in\mathbb{R} e para todo \varepsilon>0 existe r\in\mathbb{Q} com |x-r|<\varepsilon". Essa é precisamente a afirmação de que os números racionais são densos nos reais. Vou provar que essa afirmação é verdadeira.
Prova (passo a passo, usando o Princípio Arquimediano):
  1. Tome x\in\mathbb{R} arbitrário e \varepsilon>0 arbitrário.
  2. Pelo Princípio Arquimediano existe um inteiro positivo n\in\mathbb{N} tal que \frac{1}{n}<\varepsilon.(Explicação: o Princípio Arquimediano diz que para todo real positivo \delta existe n\in\mathbb{N} com 1/n<\delta.)
  3. Considere o número nx. Existe um inteiro k tal que k \le nx < k+1,isto é, tome k=\lfloor nx\rfloor (a parte inteira de nx).
  4. Defina r := \frac{k}{n}.Então r\in\mathbb{Q} (razão de inteiros, denominador não nulo).
  5. Compare x e r: k \le nx < k+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{k}{n} \le x < \frac{k+1}{n}.Portanto 0 \le x - r < \frac{1}{n}.Assim |x-r| = x-r < \frac{1}{n}.
  6. Como \tfrac{1}{n}<\varepsilon pela escolha de n, temos |x-r| < \frac{1}{n} < \varepsilon.
  7. Conclusão: para esse x e \varepsilon construímos r\in\mathbb{Q} com |x-r|<\varepsilon. Como x e \varepsilon eram arbitrários, a afirmação vale para todo x\in\mathbb{R} e todo \varepsilon>0.
Portanto a proposição é verdadeira.

Passo 6

Observações finais didáticas e reforço (como lembrar disso na prova):
  • Sintaxe: sempre primeiro verifique se há variáveis livres. Se não houver, é proposição (tem chances de ser verdadeira ou falsa). Se houver variáveis livres, não é proposição até que se atribuam valores ou se quantifiquem.
  • Semântica: depois de verificar que é proposição fechada, determine seu valor de verdade. Aqui usamos uma prova construtiva (arquimediana) que fornece, dado \varepsilon, um racional r com |x-r|<\varepsilon.
  • Intuição prática: para qualquer real você pode aproximá-lo por uma fração com denominador grande; aumentando o denominador consegue aproximação tão boa quanto quiser — é a densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}.

Resposta

A frase é uma proposição e é verdadeira.

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