Exercício 11: Reescreva a frase : “Os diâmetros de uma circunferência se intersectam em um ponto.” explicitando os quantificadores.

Passo 1

O enunciado pede que a frase “Os diâmetros de uma circunferência se intersectam em um ponto.” seja reescrita explicitando os quantificadores.
Informações e elementos que o enunciado dá (diretamente ou implicitamente):
  • Há objetos chamados “circunferência” (vou chamar genericamente de círculos).
  • Para cada circunferência consideram-se seus “diâmetros” (segments/retas que passam pelo centro e têm extremidades na circunferência).
  • A afirmação é sobre a existência de “um ponto” onde esses diâmetros se intersectam.
    O objetivo é transformar essa frase em uma fórmula lógica com quantificadores ( \forall, \exists, etc.), deixando explícito o universo de discurso e os predicados usados.

Passo 2

Escolher variáveis e predicados claros (sempre uma boa prática antes de formalizar):
  • Variáveis:
    • C denota uma circunferência (um círculo).
    • s denota um segmento (ou um diâmetro considerado como objeto).
    • p,q denotam pontos do plano.
  • Predicados (definições em palavras, que serão usados na fórmula):
    • \text{Circ}\text{(C)} significa " C é uma circunferência".
    • \text{Diam}(s,C) significa " s é um diâmetro da circunferência C ".
    • p\in s significa "o ponto p pertence ao segmento s".
      Explicando: ao escrever a fórmula, vou quantificar sobre circunferências C, pontos p e segmentos s. Essas escolhas ficam explícitas na notação lógica.

Passo 3

Escrever a versão direta que expressa “para toda circunferência existe um ponto que pertence a todos os seus diâmetros”. A formulação lógica é:
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists p\\ \forall s\bigl(\text{Diam}(s,C)\to p\in s\bigr)\bigr).
Agora uma leitura guiada, palavra a palavra:
  • \forall C : “para toda circunferência C,”
  • \text{Circ}\text{(C)}\to : (caso C seja uma circunferência)
  • \exists p : "existe um ponto p"
  • \forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s) : "tal que para todo segmento s, se s é um diâmetro de C então p pertence a s".
    Essa forma garante que para cada circunferência há um ponto comum a todos os seus diâmetros (o leitor vê o papel de cada quantificador).

Passo 4

Discutir a unicidade (opcional, mas importante): a frase natural sugere um único ponto (o centro). Podemos tornar explícita a unicidade do ponto comum usando o quantificador \exists! (existe exatamente um). Uma forma com \exists! é:
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists! p\\ \forall s\bigl(\text{Diam}(s,C)\to p\in s\bigr)\bigr).
Se preferir a versão de unicidade escrita só com \exists e \forall (sem o símbolo \exists!), escreve-se assim:
\forall C\Bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists p\Bigl(\forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s)\\ \wedge\\ \forall q\bigl(\forall s(\text{Diam}(s,C)\to q\in s)\to q=p\bigr)\Bigr)\Bigr).
Leitura da versão expandida: para cada circunferência existe um ponto p que pertence a todos os diâmetros e, além disso, qualquer ponto q que também pertencer a todos os diâmetros deve ser igual a p (garantindo assim a exclusividade).

Passo 5

Apresentar uma formulação alternativa que muitas vezes aparece nos enunciados: afirmar que qualquer par de diâmetros tem interseção. Isso é a forma “par a par”, que é mais fraca se não for complementada por unicidade:
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \forall s_1\forall s_2\bigl((\text{Diam}(s_1,C)\wedge \text{Diam}(s_2,C))\to \exists p\\ (p\in s_1\wedge p\in s_2)\bigr)\bigr).
Leitura: para toda circunferência, para quaisquer dois diâmetros existe (pode depender do par) um ponto que os dois têm em comum. Observe a diferença: esta não afirma necessariamente que há um único ponto comum a todos os diâmetros (ela garante interseção para cada par, mas a identidade do ponto pode variar com o par).

Passo 6

Comentar rapidamente sobre ordem dos quantificadores (erro comum):
  • A ordem \forall C\,\exists p\,\forall s é essencial: para cada C encontramos (talvez diferente) um p que funciona para todos os s desse C.
  • Trocar a ordem para \exists p\,\forall C\,\forall s muda completamente o sentido: aí se estaria alegando a existência de um único ponto p que funciona para todas as circunferências simultaneamente (absurdo geométrico).
    Fique atento: a posição e o escopo dos quantificadores determinam o significado exato da afirmação.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como você deve escrever): escolha e declare os predicados/variáveis e então escreva a fórmula. As duas versões que recomendo memorizar são:
  • Forma que afirma existência de ponto comum a todos os diâmetros:
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists p\\ \forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s)\bigr).
  • Forma forte com unicidade (mais precisa geometricamente):
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists! p\\ \forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s)\bigr).
Vai bem na prova se você declarar o significado de \text{Diam} e \text{Circ} antes de escrever a fórmula. Força aí — você consegue!

Resposta

\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists p\\ \forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s)\bigr).
\forall C\bigl(\text{Circ}\text{(C)}\to \exists! p\\ \forall s(\text{Diam}(s,C)\to p\in s)\bigr).

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