Exercício 11: Reescreva a frase : “Os diâmetros de uma circunferência se intersectam em um ponto.” explicitando os quantificadores.
Passo 1
O enunciado pede que a frase “Os diâmetros de uma circunferência se intersectam em um ponto.” seja reescrita explicitando os quantificadores.
Informações e elementos que o enunciado dá (diretamente ou implicitamente):
Informações e elementos que o enunciado dá (diretamente ou implicitamente):
- Há objetos chamados “circunferência” (vou chamar genericamente de círculos).
- Para cada circunferência consideram-se seus “diâmetros” (segments/retas que passam pelo centro e têm extremidades na circunferência).
- A afirmação é sobre a existência de “um ponto” onde esses diâmetros se intersectam.
O objetivo é transformar essa frase em uma fórmula lógica com quantificadores (, , etc.), deixando explícito o universo de discurso e os predicados usados.
Passo 2
Escolher variáveis e predicados claros (sempre uma boa prática antes de formalizar):
- Variáveis:
-
denota uma circunferência (um círculo). -
denota um segmento (ou um diâmetro considerado como objeto). -
denotam pontos do plano.
-
- Predicados (definições em palavras, que serão usados na fórmula):
-
significa " é uma circunferência". -
significa " é um diâmetro da circunferência ". -
significa "o ponto pertence ao segmento ".
Explicando: ao escrever a fórmula, vou quantificar sobre circunferências, pontos e segmentos . Essas escolhas ficam explícitas na notação lógica.
-
Passo 3
Escrever a versão direta que expressa “para toda circunferência existe um ponto que pertence a todos os seus diâmetros”. A formulação lógica é:
Agora uma leitura guiada, palavra a palavra:
-
: “para toda circunferência ,” -
: (caso seja uma circunferência) -
: "existe um ponto " -
: "tal que para todo segmento , se é um diâmetro de então pertence a ".
Essa forma garante que para cada circunferência há um ponto comum a todos os seus diâmetros (o leitor vê o papel de cada quantificador).
Passo 4
Discutir a unicidade (opcional, mas importante): a frase natural sugere um único ponto (o centro). Podemos tornar explícita a unicidade do ponto comum usando o quantificador
(existe exatamente um). Uma forma com
é:
Se preferir a versão de unicidade escrita só com
e
(sem o símbolo
), escreve-se assim:
Leitura da versão expandida: para cada circunferência existe um ponto
que pertence a todos os diâmetros e, além disso, qualquer ponto
que também pertencer a todos os diâmetros deve ser igual a
(garantindo assim a exclusividade).
Passo 5
Apresentar uma formulação alternativa que muitas vezes aparece nos enunciados: afirmar que qualquer par de diâmetros tem interseção. Isso é a forma “par a par”, que é mais fraca se não for complementada por unicidade:
Leitura: para toda circunferência, para quaisquer dois diâmetros existe (pode depender do par) um ponto que os dois têm em comum. Observe a diferença: esta não afirma necessariamente que há um único ponto comum a todos os diâmetros (ela garante interseção para cada par, mas a identidade do ponto pode variar com o par).
Passo 6
Comentar rapidamente sobre ordem dos quantificadores (erro comum):
- A ordem
é essencial: para cada encontramos (talvez diferente) um que funciona para todos os desse . - Trocar a ordem para
muda completamente o sentido: aí se estaria alegando a existência de um único ponto que funciona para todas as circunferências simultaneamente (absurdo geométrico).
Fique atento: a posição e o escopo dos quantificadores determinam o significado exato da afirmação.
Passo 7
Resumo prático para a prova (como você deve escrever): escolha e declare os predicados/variáveis e então escreva a fórmula. As duas versões que recomendo memorizar são:
- Forma que afirma existência de ponto comum a todos os diâmetros:
- Forma forte com unicidade (mais precisa geometricamente):
Vai bem na prova se você declarar o significado de
e
antes de escrever a fórmula. Força aí — você consegue!