Determine, caso existam, os limites a seguir:
\begin{gathered} \end{gathered}
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to0^{+}} x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função oscilante multiplicada por algo que tende a zero. Vamos usar o Teorema do Confronto.

Passo 2

Sabemos que para qualquer t válido
-1 \le \cos(t) \le 1.
Tomando t = \tfrac{1}{x} e multiplicando por x>0, vem
-\,x \le x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\le x.

Passo 3

Como
\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^{+}}x=0,
pelo Teorema do Confronto obtemos
\lim_{x\to0^{+}}x\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.

Resposta

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