QUESTÃO 05 (6 pontos): Classifique as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas Se verdadeira, justifique. Caso contrário explique ou dê um exemplo que invalide o enunciado.
Se o domínio de fé [0, \infty] e seu gráfico não possui assintota horizontal, então \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty ou \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty.

Passo 1

O enunciado considera uma função f com domínio [0,\infty) e afirma que, se o gráfico de f não possui assíntota horizontal, então necessariamente
\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty.
O conteúdo envolvido é o conceito de limite no infinito e de assíntota horizontal, que ocorre quando \lim_{x\to\infty}f(x)=L para algum número real L.

Passo 2

Lembrando que dizer que y=L é assíntota horizontal de f em +\infty significa
\lim_{x\to\infty}f(x)=L\quad\text{(com \(L\) finito).}
Então “não possuir assíntota horizontal” equivale a “não existir limite finito” de f(x) quando x\to\infty. O enunciado quer concluir que, sempre que o limite não for finito, ele deve ser +\infty ou -\infty.

Passo 3

Para ver que isso é falso, basta apresentar uma função cujo limite em +\infty não seja finito nem seja infinito, mas que também não se aproxime de valor finito nenhum (logo sem assíntota horizontal). Um exemplo clássico é
f(x)=\sin(x),
com domínio [0,\infty). Essa função não tem assíntota horizontal porque
\lim_{x\to\infty}\sin(x)
não existe como número finito, e também não tende a +\infty nem a -\infty: ela simplesmente oscila entre -1 e 1. Portanto, o enunciado é refutado por esse contraexemplo.

Resposta

A afirmativa é falsa. Um contraexemplo é f(x)=\sin(x), que em [0,\infty) não tem assíntota horizontal e não satisfaz \lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty.

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