Resolva a equação de Laplace para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas:
u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0
u(x, 0)=f(x), \quad u(x, b)=g(x)
Resp.: \quad u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{a} \int_{0}^{a} f(x) \operatorname{sen} \frac{\pi n x}{a} d x\right) \operatorname{cosh} \frac{n \pi y}{a}+\left(\frac{1}{\operatorname{senh} \frac{n \pi b}{a}}\left(\frac{2}{a} \int_{0}^{a} g(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{a} d x+\right.\right.\right.\\ \[ \left.\left.\left.-\left(\frac{2}{a} \int_{0}^{a} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{a} d x\right) \operatorname{cosh} \frac{n \pi b}{a}\right)\right) \operatorname{senh} \frac{n \pi y}{a} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{a}\right]]

Passo 1

O enunciado pede a solução de
u_{xx}+u_{yy}=0
em 0<x<a,\;0<y<b sujeita a
\;u(0,y)=0,\;u(a,y)=0,\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
O método é Separação de Variáveis e expansão de f e g em séries de senos.

Passo 2

Assumimos u(x,y)=X(x)\,Y(y). Então
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0 \;\Longrightarrow\; X'' + \lambda X=0,\quad Y'' - \lambda Y=0.
Como u(0,y)=u(a,y)=0, temos X(0)=X(a)=0. Logo os autovalores são
\lambda_n=(\tfrac{n\pi}{a})^2 e
X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr).
A equação para Y vira
Y_n'' - \bigl(\tfrac{n\pi}{a}\bigr)^2Y_n=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr) +B_n\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr).
Portanto
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty\Bigl[A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr) +B_n\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)\Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr).

Passo 3

Impondo u(x,0)=f(x) temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)=f(x).
Assim os coeficientes A_n são os da série de Fourier de f:
A_n = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx.

Passo 4

Impondo u(x,b)=g(x) escrevemos
u(x,b) =\sum_{n=1}^\infty\bigl[A_n\operatorname{cosh}\!\tfrac{n\pi b}{a} +B_n\operatorname{sinh}\!\tfrac{n\pi b}{a}\bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)=g(x).
Se definirmos
C_n = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} g(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx,
então
A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr) +B_n\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)=C_n.
Isto dá
B_n =\frac{C_n - A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)}.

Passo 5

Substituindo A_n e B_n em u(x,y) obtemos
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \Biggl[ A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr) +\frac{C_n - A_n\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr) \Biggr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),
com
A_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx, \quad C_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx.

Resposta

u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \Bigl(\tfrac{2}{a}\!\int_{0}^{a}f(x)\sin\tfrac{n\pi x}{a}\,dx\Bigr) \operatorname{cosh}\tfrac{n\pi y}{a} +\frac{\tfrac{2}{a}\!\int_{0}^{a}g(x)\sin\tfrac{n\pi x}{a}\,dx -\bigl(\tfrac{2}{a}\!\int_{0}^{a}f(x)\sin\tfrac{n\pi x}{a}\,dx\bigr) \operatorname{cosh}\tfrac{n\pi b}{a}} {\operatorname{sinh}\tfrac{n\pi b}{a}} \operatorname{sinh}\tfrac{n\pi y}{a} \Biggr] \sin\tfrac{n\pi x}{a}.

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