Determine, caso existam, os limites a seguir:
\begin{gathered} \end{gathered}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{16 x^{2}+4 x+1}}{-4 \sqrt{9 x^{2}+5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{16x^{2}+4x+1}}{-4\sqrt{9x^{2}+5}}.
Aqui o conteúdo é limite de função que envolve radicais com termo quadrático para x\to -\infty. A ideia é usar fatoração de x^2 dentro da raiz e lembrar que, para x negativo, |x|=-x.

Passo 2

Fatoramos x^2 dentro de cada raiz. No numerador:
\sqrt{16x^{2}+4x+1} =\sqrt{x^2\bigl(16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}\bigr)} =|x|\sqrt{16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}}.
No denominador:
-4\sqrt{9x^{2}+5} =-4\sqrt{x^2\bigl(9+\tfrac{5}{x^2}\bigr)} =-4\,|x|\sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Substituindo em cada parte:
\sqrt{16x^{2}+4x+1} = -x\,\sqrt{16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}}, \quad -4\sqrt{9x^{2}+5} = -4\,(-x)\,\sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}} = 4x\,\sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}}.

Passo 4

A razão fica
\frac{-x\,\sqrt{16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}}} {4x\,\sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}}} =\frac{-1}{4}\,\frac{\sqrt{16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}}} {\sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}}}.
Quando x\to -\infty, os termos \tfrac{4}{x}, \tfrac{1}{x^2} e \tfrac{5}{x^2} vão a zero, então
\sqrt{16+\tfrac{4}{x}+\tfrac{1}{x^2}}\to 4, \quad \sqrt{9+\tfrac{5}{x^2}}\to 3.
Logo o limite é
\frac{-1}{4}\,\frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\frac{1}{3}

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