Resolva a equação da onda sujeita as condições indicadas:
\quad u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0
u(x, 0)=0, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=x(L-x)
Resp.: u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 L^{3}}{a n^{4} \pi^{4}}\left(1-(-1)^{n}\right) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} \operatorname{sen} \frac{a n \pi}{L} t

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
u_{tt} = a^2\,u_{xx},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=x(L-x).
O método é separar variáveis e usar séries de Fourier em funções próprias \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).

Passo 2

Pela separação de variáveis, a solução geral compatível com as condições homogêneas de contorno é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos\frac{a n\pi t}{L} + B_n\sin\frac{a n\pi t}{L}\Bigr)\sin\frac{n\pi x}{L}.

Passo 3

Impondo u(x,0)=0 obtemos
u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\frac{n\pi x}{L}=0 \;\Longrightarrow\;A_n=0\quad(\forall n).

Passo 4

Com A_n=0, resta
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{a n\pi t}{L}\,\sin\frac{n\pi x}{L}.
Derivando em t e avaliando em t=0,
u_t(x,0) =\sum_{n=1}^\infty B_n\frac{a n\pi}{L}\sin\frac{n\pi x}{L} \stackrel{!}{=}x(L-x).
Usando orthogonalidade de \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) em [0,L],
\int_{0}^{L}u_t(x,0)\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = B_n\frac{a n\pi}{L}\,\frac{L}{2} =\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.
Logo
B_n =\frac{2}{a n\pi}\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.

Passo 5

Calculamos o integral
I_n=\int_{0}^{L}x(L-x)\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.
Por partes ou expandindo x(L-x)=Lx -x^2, chega-se ao resultado
I_n =\frac{2L^3}{n^3\pi^3}\bigl(1-(-1)^n\bigr).

Passo 6

Substituindo em B_n, fica
B_n =\frac{2}{a n\pi}\,\frac{2L^3}{n^3\pi^3}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{4L^3}{a\,n^4\pi^4}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Portanto a solução é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4L^3}{a\,n^4\pi^4}\bigl(1-(-1)^n\bigr) \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{a n\pi t}{L}.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4L^{3}}{a\,n^{4}\pi^{4}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{a n\pi t}{L}.

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