QUESTÃO 05 (6 pontos): Classifique as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas Se verdadeira, justifique. Caso contrário explique ou dê um exemplo que invalide o enunciado.
Para que a função
h(x)= \begin{cases}\frac{3 x^{4}-12 x^{2}}{x-2} & \text { se } x \neq 2 \\\ k & \text { se } x=2\end{cases}
seja continua em qualquer ponto do seu domínio devemos ter k=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x)= \begin{cases} \dfrac{3x^{4}-12x^{2}}{x-2},&x\neq2,\\\ k,&x=2, \end{cases}
e pede continuidade em todo o domínio. Note que, para x\neq2, a expressão é uma razão de polinômios com denominação não nula, logo contínua. O único ponto que pode falhar é x=2; precisamos estudar o limite de h(x) quando x\to2.

Passo 2

Para simplificar a expressão quando x\neq2, fatoramos o numerador:
3x^{4}-12x^{2}=3x^{2}(x^{2}-4)=3x^{2}(x-2)(x+2).

Passo 3

Cancelando o fator (x-2) no numerador e no denominador, obtemos para x\neq2:
h(x)=3x^{2}(x+2).

Passo 4

Agora calculamos o limite quando x\to2:
\lim_{x\to2}h(x) =\lim_{x\to2}3x^{2}(x+2) =3\cdot2^{2}\cdot(2+2) =3\cdot4\cdot4 =48.

Passo 5

Para que h seja contínua em x=2, o valor definido h(2)=k deve coincidir com esse limite. Logo
k=\lim_{x\to2}h(x)=48.

Passo 6

Como a afirmação do enunciado diz que “devemos ter k=0”, ela está falsa, pois na verdade precisamos de k=48 para garantir a continuidade em x=2.

Resposta

Falsa. Para continuidade em todo o domínio, em particular em x=2, é necessário k=48, não 0.

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