(2,0) Determine, caso existam, os pontos críticos da função f(x, y)=6 ln (x)+12y+x y, e classifique-os, se possível, como pontos de máximo, mínimo ou de sela.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os pontos críticos de
f(x,y)=6 ln(x)+12/y+xy
no domínio x>0, y≠0, e depois classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela. Para isso a gente vai usar derivadas parciais (gradiente) para encontrar candidatos a ponto crítico e a matriz Hessiana para ver a classificação.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f e resolver ∇f=0. O gradiente é dado por
∇f(x,y)=gl(∂f∂x,∂f∂ygr)=l(6x+y,;x-12y^2r)
Igualando cada componente a zero, temos o sistema:
6x+y=0, x-12y^2=0
Da primeira equação vem y=−6/x. Substituindo na segunda:
x=12(−6/x)^2=1236/x^2=x^23 implies x(x−3)=0
Como x>0, fica x=3 e então y=−6/3=−2. Logo há um único ponto crítico: (3,−2).

Passo 3

Agora vamos ver se (3,−2) é máximo, mínimo ou ponto de sela, usando a Hessiana. A matriz Hessiana de f é
H(x,y)= ∂^2 f∂x^2 & ∂^2 f∂x∂y ∂^2 f∂y∂x & ∂^2 f∂y^2 = -6x^2 & 1 1 & 24y^3
No ponto (3,−2) temos:
fxx=-63^2=-23, fyy=24(-2)^3=-3, fxy=1
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=l(-tfrac23r)(-3)-1=2-1=1>0
Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (3, −2), e ele é um ponto de máximo local.

Exercícios relacionados