Determine, caso existam, os pontos críticos da função
, e classifique-os, se possível, como pontos de máximo, mínimo ou de sela.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os pontos críticos de
f(x,y)=6 ln(x)+12/y+xy
no domínio x>0, y≠0, e depois classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela. Para isso a gente vai usar derivadas parciais (gradiente) para encontrar candidatos a ponto crítico e a matriz Hessiana para ver a classificação.
f(x,y)=6 ln(x)+12/y+xy
no domínio x>0, y≠0, e depois classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela. Para isso a gente vai usar derivadas parciais (gradiente) para encontrar candidatos a ponto crítico e a matriz Hessiana para ver a classificação.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f e resolver ∇f=0. O gradiente é dado por
Igualando cada componente a zero, temos o sistema:
Da primeira equação vem y=−6/x. Substituindo na segunda:
Como x>0, fica x=3 e então y=−6/3=−2. Logo há um único ponto crítico: (3,−2).
Passo 3
Agora vamos ver se (3,−2) é máximo, mínimo ou ponto de sela, usando a Hessiana. A matriz Hessiana de f é
No ponto (3,−2) temos:
O determinante da Hessiana é
Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto é um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é (3, −2), e ele é um ponto de máximo local.