Determine, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local das funções dadas por:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinarmos, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - Precisamos encontrar pontos críticos (se houver) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou outro (por exemplo sela).
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos críticos: pontos onde o gradiente de
A razão: em pontos internos, um ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) deve fazer com que todas as derivadas parciais sejam zero — isso generaliza a condição
do cálculo de uma variável. Então vamos calcular as derivadas parciais de
.
Calcule
. A função em relação a
tem a parte
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, e há um sinal negativo na frente. Portanto
Calcule
. Análogo ao caso de
:
Agora imponha a condição de ponto crítico:
Dividindo por (-2] em cada equação obtemos
Logo o único ponto crítico é
Também calculemos o valor da função nesse ponto:
]
Logo o único ponto crítico é
Também calculemos o valor da função nesse ponto:
Passo 3
Agora precisamos classificar o ponto crítico
. Vou te ensinar o teste mais usado em duas variáveis: o teste das segundas derivadas (Hessiano).
Definições:
Definições:
- As segundas derivadas são
. - A matriz Hessiana é
- Para dois variáveis, calcule
. As regras de classificação são: - Se
e então temos mínimo local. - Se
e então temos máximo local. - Se
então temos ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vamos calcular as segundas derivadas da nossa função. Partindo de
, derivando novamente em
:
Partindo de
, derivando novamente em
:
Como
não depende de
e
não depende de
, temos
Agora calcule
:
Temos
e
. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que o ponto crítico
é um ponto de máximo local.]
Passo 4
Além de classificar como máximo local, convém ver se é máximo global. Vou explicar de forma intuitiva e direta. A função é a soma de dois termos negativos de quadrado:
Cada quadrado
e
é sempre maior ou igual a
. Então a soma
é sempre
. Com o sinal negativo na frente, segue que
E só conseguimos
quando ambos os quadrados são zero, isto é, exatamente no ponto
. Portanto
não é só um máximo local: é o único ponto onde
atinge seu maior valor possível
, logo é o máximo global único. Não existem pontos de mínimo local, porque os valores de
podem ficar arbitrariamente negativos (basta escolher
ou
muito longe de
ou
).
Passo 5
Resumo didático e um exemplo paralelo rápido para fixar a intuição: nossa função é uma “paraboloide invertida” centrada em
; imagine uma tigela virada para baixo — tem um topo (máximo) e depois vai caindo para baixo indefinidamente. Um exemplo oposto seria
, que é soma de quadrados (sempre
) e tem mínimo global em
com valor
. Isso ajuda a ver por analogia o porquê de “sinal negativo
máximo” e “sinal positivo
mínimo”.
Resposta
Ponto de máximo local (e global):
com valor
.
Pontos de mínimo local: nenhum.
Pontos de mínimo local: nenhum.