Determine, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local das funções dadas por:
f(x, y)=-(x-4)^{2}-(y-2)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=-(x-4)^{2}-(y-2)^{2}\, e pede para determinarmos, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é \,f(x,y)=-(x-4)^{2}-(y-2)^{2}\,.
  • Precisamos encontrar pontos críticos (se houver) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou outro (por exemplo sela).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos: pontos onde o gradiente de f\) é o vetor nulo. Primeiro, vou te explicar o que é gradiente e por que ele é importante. O gradiente de uma função de duas variáveis \(\,f(x,y)\,\) é o vetor das derivadas parciais: \[\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\right).
A razão: em pontos internos, um ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) deve fazer com que todas as derivadas parciais sejam zero — isso generaliza a condição f'(x)=0 do cálculo de uma variável. Então vamos calcular as derivadas parciais de \,f(x,y).
Calcule \frac{\partial f}{\partial x}. A função em relação a x tem a parte -(x-4)^2. Usamos a regra da cadeia: a derivada de (x-4)^2 é 2(x-4), e há um sinal negativo na frente. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}= -2(x-4).
Calcule \frac{\partial f}{\partial y}. Análogo ao caso de x:
\frac{\partial f}{\partial y}= -2(y-2).
Agora imponha a condição de ponto crítico:
\begin{cases} -2(x-4)=0,\\[4pt] -2(y-2)=0. \end{cases}
Dividindo por (-2] em cada equação obtemos
\begin{cases} x-4=0,\\[4pt] y-2=0. \end{cases}
Logo o único ponto crítico é
(x,y)=(4,2).
Também calculemos o valor da função nesse ponto:
f(4,2)=-(4-4)^2-(2-2)^2=0.]

Passo 3

Agora precisamos classificar o ponto crítico (4,2). Vou te ensinar o teste mais usado em duas variáveis: o teste das segundas derivadas (Hessiano).
Definições:
  • As segundas derivadas são \,f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\; f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\; f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\,.
  • A matriz Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}.
  • Para dois variáveis, calcule D=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^2. As regras de classificação são:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo local.
    • Se D<0 então temos ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas da nossa função. Partindo de \frac{\partial f}{\partial x}=-2(x-4), derivando novamente em x:
f_{xx}=-2.
Partindo de \frac{\partial f}{\partial y}=-2(y-2), derivando novamente em y:
f_{yy}=-2.
Como \frac{\partial f}{\partial x} não depende de y e \frac{\partial f}{\partial y} não depende de x, temos
f_{xy}=0.
Agora calcule D:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2)\cdot(-2)-0^{2}=4>0.
Temos D>0 e f_{xx}=-2<0. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que o ponto crítico (4,2) é um ponto de máximo local.]

Passo 4

Além de classificar como máximo local, convém ver se é máximo global. Vou explicar de forma intuitiva e direta. A função é a soma de dois termos negativos de quadrado:
f(x,y)= -\big[(x-4)^2+(y-2)^2\big].
Cada quadrado (x-4)^2 e (y-2)^2 é sempre maior ou igual a 0. Então a soma (x-4)^2+(y-2)^2 é sempre \ge 0. Com o sinal negativo na frente, segue que
f(x,y)\le 0\quad\text{para todo }(x,y).
E só conseguimos f(x,y)=0 quando ambos os quadrados são zero, isto é, exatamente no ponto (x,y)=(4,2). Portanto (4,2) não é só um máximo local: é o único ponto onde f atinge seu maior valor possível 0, logo é o máximo global único. Não existem pontos de mínimo local, porque os valores de f podem ficar arbitrariamente negativos (basta escolher x ou y muito longe de 4 ou 2).

Passo 5

Resumo didático e um exemplo paralelo rápido para fixar a intuição: nossa função é uma “paraboloide invertida” centrada em (4,2); imagine uma tigela virada para baixo — tem um topo (máximo) e depois vai caindo para baixo indefinidamente. Um exemplo oposto seria \,g(x,y)=(x-1)^2+(y+3)^2\,, que é soma de quadrados (sempre \ge 0) e tem mínimo global em (1,-3) com valor 0. Isso ajuda a ver por analogia o porquê de “sinal negativo \Rightarrow máximo” e “sinal positivo \Rightarrow mínimo”.

Resposta

Ponto de máximo local (e global): (4,2) com valor 0.
Pontos de mínimo local: nenhum.

Exercícios relacionados